Номер 2.391, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.391*. Разложите многочлен на множители:

a) $x^2 - 4x + 3;$

б) $a^2 + 6ab + 5b^2.$

а) Разложение многочлена $x^2 - 4x + 3$ на множители.

Для разложения этого квадратного трехчлена на множители можно использовать метод группировки. Представим средний член $-4x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого нам нужно найти два числа, сумма которых равна $-4$, а произведение равно $3$. Эти числа — $-1$ и $-3$.

Запишем исходный многочлен, разбив средний член:

$x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$(x^2 - x) + (-3x + 3) = x(x - 1) - 3(x - 1)$

Мы получили общий множитель $(x - 1)$, который теперь можно вынести за скобки:

$(x - 1)(x - 3)$

Таким образом, разложение многочлена на множители завершено.

Ответ: $(x - 1)(x - 3)$

б) Разложение многочлена $a^2 + 6ab + 5b^2$ на множители.

Этот многочлен также можно разложить на множители методом группировки. Будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Нам нужно разбить средний член $6ab$ на два слагаемых. Коэффициенты этих слагаемых (при $ab$) в сумме должны давать $6$, а в произведении — $5$ (коэффициент при $b^2$). Эти числа — $1$ и $5$.

Представим $6ab$ как $ab + 5ab$:

$a^2 + 6ab + 5b^2 = a^2 + ab + 5ab + 5b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + ab) + (5ab + 5b^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a + b) + 5b(a + b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)(a + 5b)$

Таким образом, мы разложили многочлен на множители.

Ответ: $(a + b)(a + 5b)$