Номер 2.389, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.389. Разложите многочлен на множители:

а) $30x^3y - 15x^2y^2 - 20x^4y^2 + 10x^3y^3;$

б) $-24a^4b^4 + 8a^3b^4 + 12a^2b^3 - 4ab^3.$

а) $30x^3y - 15x^2y^2 - 20x^4y^2 + 10x^3y^3$

Для разложения многочлена на множители необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки.

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 30, -15, -20, 10.
   Абсолютные значения коэффициентов: 30, 15, 20, 10.
   НОД(30, 15, 20, 10) = 5.
2. Найдём общую часть для переменных.
   Для переменной $x$ (в степенях $x^3, x^2, x^4, x^3$) наименьшая степень равна 2, поэтому общим множителем будет $x^2$.
   Для переменной $y$ (в степенях $y^1, y^2, y^2, y^3$) наименьшая степень равна 1, поэтому общим множителем будет $y$.
   Таким образом, общая переменная часть — это $x^2y$.
3. Общий множитель для всего многочлена равен произведению НОД коэффициентов и общей переменной части: $5x^2y$. Вынесем его за скобки:
   $30x^3y - 15x^2y^2 - 20x^4y^2 + 10x^3y^3 = 5x^2y(\frac{30x^3y}{5x^2y} - \frac{15x^2y^2}{5x^2y} - \frac{20x^4y^2}{5x^2y} + \frac{10x^3y^3}{5x^2y})$
   $= 5x^2y(6x - 3y - 4x^2y + 2xy^2)$
4. Теперь разложим на множители выражение в скобках $6x - 3y - 4x^2y + 2xy^2$ методом группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемым:
   $(6x - 3y) + (-4x^2y + 2xy^2)$
5. Вынесем общие множители из каждой группы:
   Из первой группы $(6x - 3y)$ выносим 3: $3(2x - y)$.
   Из второй группы $(-4x^2y + 2xy^2)$ выносим $-2xy$: $-2xy(2x - y)$.
6. Получаем выражение: $3(2x - y) - 2xy(2x - y)$.
   Теперь вынесем общий множитель $(2x - y)$:
   $(2x - y)(3 - 2xy)$
7. Объединив результаты, получаем итоговое разложение исходного многочлена:
   $5x^2y(2x - y)(3 - 2xy)$

Ответ: $5x^2y(2x - y)(3 - 2xy)$.

б) $-24a^4b^4 + 8a^3b^4 + 12a^2b^3 - 4ab^3$

Разложим многочлен на множители, следуя тому же алгоритму.

1. Найдём НОД для коэффициентов -24, 8, 12, -4.
   Абсолютные значения: 24, 8, 12, 4.
   НОД(24, 8, 12, 4) = 4. Так как старший член многочлена отрицательный, удобно вынести за скобки -4.
2. Найдём общую часть для переменных.
   Для переменной $a$ (в степенях $a^4, a^3, a^2, a^1$) наименьшая степень равна 1, общий множитель — $a$.
   Для переменной $b$ (в степенях $b^4, b^4, b^3, b^3$) наименьшая степень равна 3, общий множитель — $b^3$.
   Общая переменная часть — $ab^3$.
3. Общий множитель для всего многочлена: $-4ab^3$. Вынесем его за скобки:
   $-24a^4b^4 + 8a^3b^4 + 12a^2b^3 - 4ab^3 = -4ab^3(\frac{-24a^4b^4}{-4ab^3} + \frac{8a^3b^4}{-4ab^3} + \frac{12a^2b^3}{-4ab^3} - \frac{4ab^3}{-4ab^3})$
   $= -4ab^3(6a^3b - 2a^2b - 3a + 1)$
4. Разложим на множители выражение в скобках $6a^3b - 2a^2b - 3a + 1$ методом группировки:
   $(6a^3b - 2a^2b) + (-3a + 1)$
5. Вынесем общие множители из каждой группы:
   Из первой группы $(6a^3b - 2a^2b)$ выносим $2a^2b$: $2a^2b(3a - 1)$.
   Из второй группы $(-3a + 1)$ выносим -1: $-1(3a - 1)$.
6. Получаем выражение: $2a^2b(3a - 1) - 1(3a - 1)$.
   Вынесем общий множитель $(3a - 1)$:
   $(3a - 1)(2a^2b - 1)$
7. Итоговое разложение исходного многочлена:
   $-4ab^3(3a - 1)(2a^2b - 1)$

Ответ: $-4ab^3(3a - 1)(2a^2b - 1)$.