Номер 2.392, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.392. Используя формулу разности квадратов, разложите многочлен на множители:

а) $4x^2 - 9;$

б) $36a^2 - 1;$

в) $0,25m^2 - n^2;$

г) $\frac{1}{9}b^2 - 49c^2;$

д) $a^4 - b^6;$

е) $16 - k^8;$

ж) $25x^2y^2 - 1;$

з) $0,04a^8 - 9b^2.$

Для решения задачи используется формула разности квадратов:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Для каждого многочлена необходимо представить его в виде разности квадратов двух выражений и применить данную формулу.

а) $4x^2 - 9$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата:
Первый член: $4x^2 = (2x)^2$
Второй член: $9 = 3^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 2x$ и $b = 3$:
$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$
Ответ: $(2x - 3)(2x + 3)$

б) $36a^2 - 1$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата:
$36a^2 = (6a)^2$
$1 = 1^2$
Применим формулу, где $a = 6a$ и $b = 1$:
$36a^2 - 1 = (6a)^2 - 1^2 = (6a - 1)(6a + 1)$
Ответ: $(6a - 1)(6a + 1)$

в) $0,25m^2 - n^2$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата:
$0,25m^2 = (0,5m)^2$
$n^2 = (n)^2$
Применим формулу, где $a = 0,5m$ и $b = n$:
$0,25m^2 - n^2 = (0,5m)^2 - n^2 = (0,5m - n)(0,5m + n)$
Ответ: $(0,5m - n)(0,5m + n)$

г) $\frac{1}{9}b^2 - 49c^2$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата:
$\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$
$49c^2 = (7c)^2$
Применим формулу, где $a = \frac{1}{3}b$ и $b = 7c$:
$\frac{1}{9}b^2 - 49c^2 = (\frac{1}{3}b)^2 - (7c)^2 = (\frac{1}{3}b - 7c)(\frac{1}{3}b + 7c)$
Ответ: $(\frac{1}{3}b - 7c)(\frac{1}{3}b + 7c)$

д) $a^4 - b^6$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a^4 = (a^2)^2$
$b^6 = (b^3)^2$
Применим формулу, где $a = a^2$ и $b = b^3$:
$a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$
Ответ: $(a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$

е) $16 - k^8$
Представим многочлен в виде разности квадратов:
$16 = 4^2$
$k^8 = (k^4)^2$
Применим формулу:
$16 - k^8 = 4^2 - (k^4)^2 = (4 - k^4)(4 + k^4)$
Заметим, что первый множитель $(4 - k^4)$ также является разностью квадратов, поэтому мы можем разложить его дальше:
$4 - k^4 = 2^2 - (k^2)^2 = (2 - k^2)(2 + k^2)$
Таким образом, полное разложение на множители имеет вид:
$16 - k^8 = (2 - k^2)(2 + k^2)(4 + k^4)$
Ответ: $(2 - k^2)(2 + k^2)(4 + k^4)$

ж) $25x^2y^2 - 1$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата:
$25x^2y^2 = (5xy)^2$
$1 = 1^2$
Применим формулу, где $a = 5xy$ и $b = 1$:
$25x^2y^2 - 1 = (5xy)^2 - 1^2 = (5xy - 1)(5xy + 1)$
Ответ: $(5xy - 1)(5xy + 1)$

з) $0,04a^8 - 9b^2$
Представим каждый член многочлена в виде квадрата:
$0,04a^8 = (0,2a^4)^2$
$9b^2 = (3b)^2$
Применим формулу, где $a = 0,2a^4$ и $b = 3b$:
$0,04a^8 - 9b^2 = (0,2a^4)^2 - (3b)^2 = (0,2a^4 - 3b)(0,2a^4 + 3b)$
Ответ: $(0,2a^4 - 3b)(0,2a^4 + 3b)$