Номер 10, страница 302 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите все значения числа b, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} bx + y = 1 \\ 4x - 2y = b \end{cases} $$ имеет бесконечно много решений.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} bx + y = 1, \\ 4x - 2y = b\end{cases}$$

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда графики уравнений (которые являются прямыми линиями) совпадают. Это происходит, когда одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое ненулевое число. Алгебраически это означает, что коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны.

Для общей системы вида:$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$$условие бесконечного множества решений записывается как:$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$

Применим это условие к нашей системе. Коэффициенты уравнений:

• Первое уравнение: $a_1 = b$, $b_1 = 1$, $c_1 = 1$
• Второе уравнение: $a_2 = 4$, $b_2 = -2$, $c_2 = b$

Составим пропорцию:

$$ \frac{b}{4} = \frac{1}{-2} = \frac{1}{b} $$

Это равенство должно выполняться одновременно. Рассмотрим его как систему из двух уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{b}{4} = \frac{1}{-2} \\ \frac{1}{-2} = \frac{1}{b} \end{cases} $$

Решим первое уравнение:

$$ \frac{b}{4} = -\frac{1}{2} $$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$$ b \cdot 2 = 4 \cdot (-1) $$

$$ 2b = -4 $$

$$ b = -2 $$

Решим второе уравнение:

$$ \frac{1}{-2} = \frac{1}{b} $$

$$ 1 \cdot b = -2 \cdot 1 $$

$$ b = -2 $$

Оба уравнения дают одинаковое значение $b = -2$. Следовательно, только при $b = -2$ все три отношения в пропорции равны между собой, и система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: -2