Номер 5, страница 301 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Постройте график каждого из уравнений системы и укажите систему, которая не имеет решений:

а) $\begin{cases} 2x - y = 8, \\ x + y = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x - 2y = 4, \\ 12x - 4y = -8. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо проанализировать каждую систему уравнений. Решение системы линейных уравнений — это точка пересечения их графиков. Графиком линейного уравнения является прямая.

а) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x - y = 8, \\ x + y = -1. \end{cases} $$ Чтобы построить и проанализировать графики, представим каждое уравнение в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения с осью OY.

1. Первое уравнение: $2x - y = 8$.
Выразим $y$: $y = 2x - 8$.
Это график прямой с угловым коэффициентом $k_1 = 2$ и точкой пересечения с осью OY $(0, -8)$.

2. Второе уравнение: $x + y = -1$.
Выразим $y$: $y = -x - 1$.
Это график прямой с угловым коэффициентом $k_2 = -1$ и точкой пересечения с осью OY $(0, -1)$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, данная система имеет единственное решение. Найдем его, решив систему: $$ \begin{cases} y = 2x - 8 \\ y = -x - 1 \end{cases} $$ Приравняем правые части: $2x - 8 = -x - 1$
$3x = 7$
$x = \frac{7}{3}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение: $y = -(\frac{7}{3}) - 1 = -\frac{7}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{10}{3}$

Ответ: Решением системы является точка пересечения $(\frac{7}{3}; -\frac{10}{3})$. Выделим целую часть: $(\mathbf{2}\frac{1}{3}; -\mathbf{3}\frac{1}{3})$.

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 6x - 2y = 4, \\ 12x - 4y = -8. \end{cases} $$ Также приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.

1. Первое уравнение: $6x - 2y = 4$.
Разделим обе части на 2: $3x - y = 2$.
Выразим $y$: $y = 3x - 2$.
Это график прямой с угловым коэффициентом $k_1 = 3$ и точкой пересечения с осью OY $(0, -2)$.

2. Второе уравнение: $12x - 4y = -8$.
Разделим обе части на 4: $3x - y = -2$.
Выразим $y$: $y = 3x + 2$.
Это график прямой с угловым коэффициентом $k_2 = 3$ и точкой пересечения с осью OY $(0, 2)$.

Мы видим, что угловые коэффициенты обеих прямых одинаковы ($k_1 = k_2 = 3$), а точки пересечения с осью OY различны ($b_1 = -2$, а $b_2 = 2$). Это означает, что графики данных уравнений — параллельные прямые, которые не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.

Итоговый вывод

Проанализировав обе системы, мы установили, что система б) не имеет решений, так как графики ее уравнений являются параллельными прямыми.