Номер 4.185, страница 300 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.185. На заводе установлены две линии, круглосуточно изготавливающие йогурты. Число йогуртов, изготовленных первой линией за 3 ч и второй линией за 2 ч, составляет 36 тыс. штук. Четвертая часть йогуртов, изготовленная двумя линиями за 2 ч, составила 7,5 тыс. штук. Завод получил заказ от крупной торговой сети на производство 276 тыс. штук йогуртов, который необходимо выполнить в течение суток. По непредвиденным обстоятельствам первая линия по производству йогуртов вышла из строя. Выясните, какое максимальное время можно потратить на ремонт, чтобы выполнить заказ в срок.

Для того чтобы найти максимальное время на ремонт первой линии, необходимо сначала определить индивидуальную производительность каждой линии, а затем составить уравнение, связывающее общее время, производство и объем заказа.

Шаг 1: Нахождение производительности каждой линии

Пусть $x$ — производительность первой линии (в тыс. штук/час), а $y$ — производительность второй линии (в тыс. штук/час).

Из условий задачи составим систему уравнений:

1. Число йогуртов, изготовленных первой линией за 3 часа ($3x$) и второй линией за 2 часа ($2y$), составляет 36 тыс. штук.
   Уравнение: $3x + 2y = 36$
2. Четвертая часть йогортов, изготовленная двумя линиями за 2 часа ($\frac{1}{4} \cdot (2x+2y)$), составила 7,5 тыс. штук.
   Уравнение: $\frac{1}{4} \cdot 2(x + y) = 7.5$

Упростим второе уравнение:

$\frac{1}{2}(x + y) = 7.5$

$x + y = 15$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 36 \\ x + y = 15 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 15 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение и решим его относительно $x$:

$3x + 2(15 - x) = 36$

$3x + 30 - 2x = 36$

$x + 30 = 36$

$x = 6$

Таким образом, производительность первой линии составляет 6 тыс. штук/час.

Теперь найдем производительность второй линии:

$y = 15 - 6 = 9$

Производительность второй линии составляет 9 тыс. штук/час.

Их совместная производительность: $6 + 9 = 15$ тыс. штук/час.

Шаг 2: Расчет максимального времени на ремонт

Заказ объемом 276 тыс. штук необходимо выполнить за 1 сутки, то есть за 24 часа. Первая линия выходит из строя.

Пусть $t$ — максимальное время (в часах), которое можно потратить на ремонт первой линии.

В течение этого времени $t$ будет работать только вторая линия, и она произведет: $9 \cdot t$ тыс. штук.

В оставшееся время, равное $(24 - t)$ часам, будут работать обе линии. За это время они произведут: $15 \cdot (24 - t)$ тыс. штук.

Суммарный объем продукции за 24 часа должен быть равен объему заказа:

$9t + 15(24 - t) = 276$

Решим это уравнение:

$9t + 360 - 15t = 276$

$360 - 6t = 276$

$6t = 360 - 276$

$6t = 84$

$t = \frac{84}{6}$

$t = 14$

Выясните, какое максимальное время можно потратить на ремонт, чтобы выполнить заказ в срок. Ответ: Максимальное время, которое можно потратить на ремонт первой линии, составляет 14 часов. Поскольку ответ является целым числом, его можно представить в виде дроби $\frac{14}{1}$, целая часть которой равна 14.