Номер 4.184, страница 299 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.184. Новоселы для ремонта квартиры в магазине стройматериалов приобрели 16 кг акриловой и 20 кг масляной краски на общую сумму 620 р. Через неделю магазин проводил акцию и снизил цену акриловой краски на 25 %, а масляной — на $33 \frac{1}{3}\%$. В результате та же покупка обошлась бы новоселам на 180 р. дешевле. Оказалось, что для завершения ремонта новоселам нужно докупить еще 2 кг акриловой и 1 кг масляной краски. Во сколько им обойдется эта покупка, если они успеют воспользоваться условиями акции?

Для решения задачи необходимо определить первоначальную стоимость 1 кг каждого вида краски, а затем рассчитать стоимость дополнительной покупки по акционным ценам.

Пусть $x$ — первоначальная цена 1 кг акриловой краски в рублях, а $y$ — первоначальная цена 1 кг масляной краски в рублях.

Исходя из условия, что за 16 кг акриловой и 20 кг масляной краски заплатили 620 рублей, составим первое уравнение:

$$16x + 20y = 620$$

Через неделю цены снизились:

• на акриловую краску на 25%, ее новая цена стала $x \cdot (1 - 0.25) = 0.75x$.
• на масляную краску на $33\frac{1}{3}\%$. Так как $33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}$, ее новая цена стала $y \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}y$.

Та же покупка по новым ценам стоила бы на 180 рублей дешевле, то есть $620 - 180 = 440$ рублей. Составим второе уравнение:

$$16 \cdot (0.75x) + 20 \cdot (\frac{2}{3}y) = 440$$

Упростим оба уравнения. Первое разделим на 4, второе преобразуем:

1) $4x + 5y = 155$

2) $12x + \frac{40}{3}y = 440$. Умножим это уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: $36x + 40y = 1320$. Теперь разделим его на 4 для удобства: $9x + 10y = 330$.

Ответ: Мы получили систему из двух линейных уравнений: $$\begin{cases} 4x + 5y = 155 \\ 9x + 10y = 330 \end{cases}$$

Решим полученную систему уравнений. Удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2:

$$-2(4x + 5y) = -2(155) \implies -8x - 10y = -310$$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$$(9x + 10y) + (-8x - 10y) = 330 + (-310)$$

$$9x - 8x + 10y - 10y = 330 - 310$$

$$x = 20$$

Теперь подставим значение $x=20$ в первое уравнение ($4x + 5y = 155$):

$$4 \cdot 20 + 5y = 155$$

$$80 + 5y = 155$$

$$5y = 155 - 80$$

$$5y = 75$$

$$y = 15$$

Ответ: Первоначальная цена 1 кг акриловой краски составляла 20 рублей, а 1 кг масляной краски — 15 рублей.

Новоселам необходимо докупить 2 кг акриловой и 1 кг масляной краски по акционным ценам. Найдем эти цены:

• Цена акриловой краски со скидкой 25%: $20 \cdot 0.75 = 15$ рублей за кг.
• Цена масляной краски со скидкой $33\frac{1}{3}\%$ (т.е. на $\frac{1}{3}$): $15 \cdot \frac{2}{3} = 10$ рублей за кг.

Рассчитаем стоимость дополнительной покупки:

$$2 \text{ кг} \cdot 15 \frac{\text{руб}}{\text{кг}} + 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{руб}}{\text{кг}} = 30 + 10 = 40 \text{ рублей}$$

Ответ: Эта покупка обойдется новоселам в 40 рублей.