Номер 3, страница 301 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x = 5 - 2y, \\ 3x - 4y = 5 \end{cases}$ способом подстановки. Какими способами можно решать системы линейных уравнений?

3. Решите систему уравнений способом подстановки.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 5 - 2y \\ 3x - 4y = 5 \end{cases}$

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую в одном из уравнений и подставить это выражение в другое уравнение. В данной системе в первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$.

1. Подставим выражение $5 - 2y$ вместо $x$ во второе уравнение системы:
   $3(5 - 2y) - 4y = 5$
2. Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $y$:
   Раскроем скобки:
   $15 - 6y - 4y = 5$
   Приведем подобные слагаемые:
   $15 - 10y = 5$
   Перенесем 15 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
   $-10y = 5 - 15$
   $-10y = -10$
   Найдем $y$:
   $y = \frac{-10}{-10}$
   $y = 1$
3. Теперь, зная значение $y$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $x$:
   $x = 5 - 2y$
   $x = 5 - 2(1)$
   $x = 5 - 2$
   $x = 3$

Решением системы является пара чисел $(3; 1)$.

Ответ: $x = 3, y = 1$.

Какими способами можно решать системы линейных уравнений?

Существует несколько основных способов решения систем линейных уравнений:

• Графический способ: Этот метод заключается в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Координаты точки пересечения графиков являются решением системы.
• Способ подстановки: Как показано в решении выше, из одного уравнения выражается одна переменная через другую и подставляется во второе уравнение. Это позволяет свести систему к одному уравнению с одной переменной.
• Способ алгебраического сложения (или вычитания): Уравнения системы умножаются на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (для сложения) или одинаковыми (для вычитания). Затем уравнения почленно складываются или вычитаются, что приводит к исключению одной переменной.

Кроме этих, существуют и более продвинутые методы, такие как метод Крамера (с использованием определителей) и матричный метод.

Ответ: Основными способами решения систем линейных уравнений являются: графический способ, способ подстановки и способ алгебраического сложения.