Номер 3, страница 61 - гдз по физике 7 класс учебник Исаченкова, Громыко

3. Как по графику скорости определить пройденный путь?

Чтобы определить пройденный телом путь по графику зависимости скорости от времени $v(t)$, необходимо вычислить площадь фигуры, которая заключена между графиком скорости, осью времени (осью $t$) и вертикальными линиями, проведенными через начальный и конечный моменты рассматриваемого промежутка времени.

Этот принцип имеет простое физическое обоснование. Для малого промежутка времени $\Delta t$, когда скорость можно считать практически постоянной и равной $v$, пройденный путь $\Delta s$ будет равен $\Delta s \approx v \cdot \Delta t$. Эта величина как раз соответствует площади узкого прямоугольника с высотой $v$ и шириной $\Delta t$ на графике. Весь путь за конечный промежуток времени является суммой таких элементарных участков, что в итоге и дает полную площадь под графиком.

Рассмотрим, как это работает для разных видов движения:
1. Прямолинейное равномерное движение.
При этом виде движения скорость постоянна ($v = \text{const}$). График $v(t)$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси времени. Фигура под графиком за время $t$ — это прямоугольник. Его площадь $S = v \cdot t$, что в точности соответствует формуле для пути при равномерном движении.
2. Прямолинейное равноускоренное движение.
Скорость изменяется по линейному закону $v(t) = v_0 + at$. График $v(t)$ — это наклонная прямая. Фигура под графиком за время $t$ является трапецией (или треугольником, если начальная скорость $v_0 = 0$). Площадь трапеции $S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$, где $v$ — конечная скорость, также является известной формулой для вычисления пути при равноускоренном движении.

Важное уточнение: путь и перемещение.
График скорости может располагаться не только над осью времени, но и под ней. Это соответствует движению в отрицательном направлении вдоль выбранной оси. В этом случае важно различать понятия «пройденный путь» и «перемещение».
Перемещение — это разность между конечной и начальной координатами. Оно равно алгебраической сумме площадей: площадь над осью $t$ берется со знаком «плюс», а площадь под осью — со знаком «минус».
Пройденный путь — это длина траектории, и эта величина всегда неотрицательна. Для нахождения пути нужно вычислить арифметическую сумму площадей, то есть сложить абсолютные значения (модули) всех площадей, как над осью, так и под ней.

Ответ: Пройденный путь численно равен площади фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и вертикальными линиями, соответствующими начальному и конечному моментам времени. Если график скорости опускается под ось времени, то для нахождения пройденного пути необходимо сложить площади всех частей фигуры (и над осью, и под ней), взяв их по абсолютному значению.