Номер 4.7, страница 13 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.7. Внутри данного угла постройте точки, равноудаленные от его вершины. Какую фигуру образует множество всех таких точек?

Условие "точки, равноудаленные от вершины угла" означает, что расстояние от каждой такой точки до вершины угла является постоянной величиной.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра), является окружность. В нашем случае центром этой окружности будет вершина угла, назовем ее точкой $O$. Пусть расстояние, на котором находятся искомые точки от вершины, равно $r$. Тогда все эти точки лежат на окружности радиуса $r$ с центром в точке $O$.

Однако в задаче есть дополнительное условие: точки должны находиться внутри данного угла. Следовательно, из всей окружности нужно выбрать только ту ее часть, которая расположена между сторонами угла. Эта часть окружности является дугой.

Построение:

1. Зададим произвольное расстояние (радиус) $r > 0$.
2. Установим острие циркуля в вершину угла $O$.
3. Проведем дугу окружности радиусом $r$ так, чтобы она находилась внутри угла и ее концы лежали на сторонах угла.

Любая точка, принадлежащая этой дуге (за исключением ее концов, лежащих на сторонах угла), будет находиться внутри угла и будет равноудалена от его вершины на расстояние $r$.

Таким образом, множество всех точек, удовлетворяющих условию, образует определенную геометрическую фигуру.

Ответ: Множество всех таких точек образует дугу окружности, центром которой является вершина данного угла, а концы дуги лежат на сторонах угла.