Номер 3.10, страница 12 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.10. В пятизвенной ломаной самое большое звено равно 80 см. Найдите самое маленькое звено, если каждое следующее звено, начиная со второго, в 2 раза меньше предыдущего.

Пусть длины пяти звеньев ломаной представляют собой последовательность $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

По условию задачи, каждое следующее звено, начиная со второго, в 2 раза меньше предыдущего. Это значит, что длины звеньев образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

В такой убывающей последовательности самое большое значение имеет первый член, а самое маленькое — последний. Следовательно, самое большое звено — это $a_1$, а самое маленькое — это $a_5$.

Из условия известно, что самое большое звено равно 80 см. Таким образом, $a_1 = 80$ см.

Для нахождения самого маленького звена ($a_5$), можно вычислить длину каждого последующего звена путем деления на 2:
Второе звено: $a_2 = a_1 : 2 = 80 : 2 = 40$ см.
Третье звено: $a_3 = a_2 : 2 = 40 : 2 = 20$ см.
Четвертое звено: $a_4 = a_3 : 2 = 20 : 2 = 10$ см.
Пятое звено: $a_5 = a_4 : 2 = 10 : 2 = 5$ см.

Альтернативный способ решения — использование формулы для n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения: $a_1 = 80$, $q = \frac{1}{2}$ и $n = 5$:
$a_5 = 80 \cdot (\frac{1}{2})^{5-1} = 80 \cdot (\frac{1}{2})^4 = 80 \cdot \frac{1}{16} = \frac{80}{16} = 5$ см.

Таким образом, самое маленькое звено ломаной равно 5 см.

Ответ: 5 см.