Номер 4.1, страница 12 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.1. Постройте окружность и отметьте на ней точки $A$, $B$ и $C$.

Запишите дуги, которые при этом образовались. Укажите дуги:

a) меньшие $90^\circ$;

б) меньшие полуокружности;

в) большие полуокружности.

Сначала построим окружность и отметим на ней три различные точки: A, B и C. Эти точки разбивают окружность на дуги.

Любые две точки на окружности, например A и B, определяют две дуги. Одна из них меньше полуокружности (малая дуга), а другая — больше (большая дуга). Малую дугу обозначают двумя буквами, например, $\cup AB$. Большую дугу, чтобы избежать путаницы, обозначают тремя буквами, указывая промежуточную точку, например, $\cup ACB$.

Таким образом, точки A, B и C образуют три малые дуги ($\cup AB$, $\cup BC$, $\cup CA$) и три соответствующие им большие дуги ($\cup ACB$, $\cup BAC$, $\cup CBA$).

Чтобы ответить на вопросы, зададим конкретное расположение точек, определив градусные меры малых дуг. Пусть они будут такими:

Градусная мера $\cup AB = 60^\circ$
Градусная мера $\cup BC = 140^\circ$
Градусная мера $\cup CA = 360^\circ - 60^\circ - 140^\circ = 160^\circ$

Теперь, основываясь на этом примере, дадим ответы на поставленные вопросы.

а) меньшие 90°

Нам нужно найти дуги, градусная мера которых меньше $90^\circ$. В нашем примере мы специально выбрали расположение точек A и B так, чтобы дуга $\cup AB$ удовлетворяла этому условию. Её градусная мера равна $60^\circ$, что меньше $90^\circ$. Градусные меры других малых дуг ($\cup BC = 140^\circ$ и $\cup CA = 160^\circ$) больше $90^\circ$. Все большие дуги также очевидно больше $90^\circ$.
Ответ: $\cup AB$.

б) меньшие полуокружности

Полуокружность имеет градусную меру $180^\circ$. Дуги, меньшие полуокружности, — это дуги с градусной мерой меньше $180^\circ$. Это все малые дуги, образованные нашими точками. Проверим их градусные меры в нашем примере:
$\cup AB = 60^\circ$ (меньше $180^\circ$)
$\cup BC = 140^\circ$ (меньше $180^\circ$)
$\cup CA = 160^\circ$ (меньше $180^\circ$)
Все три дуги подходят под это описание.
Ответ: $\cup AB, \cup BC, \cup CA$.

в) большие полуокружности

Дуги, большие полуокружности, — это дуги с градусной мерой больше $180^\circ$. Это большие дуги, которые дополняют малые дуги до $360^\circ$. Для нашего примера найдем их градусные меры:
Большая дуга, соответствующая $\cup AB$, это $\cup ACB$. Её мера: $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$. ($300^\circ > 180^\circ$)
Большая дуга, соответствующая $\cup BC$, это $\cup BAC$. Её мера: $360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$. ($220^\circ > 180^\circ$)
Большая дуга, соответствующая $\cup CA$, это $\cup CBA$. Её мера: $360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$. ($200^\circ > 180^\circ$)
Все три большие дуги подходят.
Ответ: $\cup ACB, \cup BAC, \cup CBA$.