Номер 4.2, страница 12 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.2. Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса $R$, чтобы при любом их положении эти хорды пересекались?

Для того чтобы две хорды окружности пересекались при любом их положении, необходимо и достаточно, чтобы было невозможно расположить их так, чтобы они не пересекались. Проанализируем, когда две хорды могут не пересекаться.

Пусть у нас есть две хорды, $C_1$ и $C_2$, с длинами $L_1$ и $L_2$ соответственно, в окружности радиуса $R$.

Рассмотрим случай, когда хотя бы одна из хорд, например $C_1$, не является диаметром. Это означает, что ее длина $L_1 < 2R$.

Когда мы размещаем хорду $C_1$ в окружности, она делит круг на два сегмента. Поскольку хорда $C_1$ не является диаметром, эти два сегмента будут иметь разную площадь: один будет больше полукруга, а другой — меньше.

Теперь возьмем вторую хорду $C_2$ длиной $L_2$. Максимально возможная длина любой хорды в окружности — это ее диаметр, $2R$. Таким образом, $L_2 \le 2R$. Мы всегда можем разместить любую хорду (включая диаметр) внутри сегмента, который больше полукруга. Следовательно, мы можем разместить хорду $C_2$ полностью внутри большего из двух сегментов, образованных хордой $C_1$.

Например, можно расположить хорду $C_2$ параллельно хорде $C_1$ в большем сегменте. В таком положении хорды $C_1$ и $C_2$ не будут пересекаться.

Это означает, что если хотя бы одна из хорд имеет длину меньше, чем диаметр ($L < 2R$), то существует по крайней мере одно положение, при котором хорды не пересекаются. Это противоречит условию задачи, которое требует, чтобы они пересекались при любом положении.

Чтобы избежать этого противоречия, наше первоначальное предположение о том, что длина хорды может быть меньше $2R$, должно быть неверным. Следовательно, длина каждой хорды должна быть равна диаметру окружности.

Таким образом, $L_1 = 2R$ и $L_2 = 2R$.

Проверим это решение. Если обе хорды являются диаметрами, то каждая из них по определению проходит через центр окружности. Две различные прямые (и, соответственно, лежащие на них хорды-диаметры), проходящие через одну и ту же точку (центр окружности), обязательно пересекутся в этой точке. Следовательно, два любых диаметра всегда пересекаются.

Ответ: Длина каждой из двух хорд должна быть равна диаметру окружности, то есть $2R$.