Номер 3.8, страница 12 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.8. В пятизвенной ломаной самое большое звено равно 12 см. Каждое следующее звено, начиная со второго, на 2 см меньше предыдущего. Найдите:

а) самое маленькое звено ломаной;

б) длину всей ломаной.

По условию, ломаная состоит из 5 звеньев. Длины этих звеньев представляют собой последовательность, где каждое следующее звено на 2 см меньше предыдущего. Это значит, что мы имеем дело с убывающей арифметической прогрессией, разность которой $d = -2$ см.

Самое большое звено в убывающей прогрессии — это ее первый член. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = 12$ см.

Найдем длины всех пяти звеньев:
Первое звено: $a_1 = 12$ см.
Второе звено: $a_2 = a_1 - 2 = 12 - 2 = 10$ см.
Третье звено: $a_3 = a_2 - 2 = 10 - 2 = 8$ см.
Четвертое звено: $a_4 = a_3 - 2 = 8 - 2 = 6$ см.
Пятое звено: $a_5 = a_4 - 2 = 6 - 2 = 4$ см.

а) самое маленькое звено ломаной;

Поскольку прогрессия является убывающей, самое маленькое звено будет последним, то есть пятым звеном ломаной, $a_5$.

Как мы уже рассчитали выше, его длина составляет 4 см.

Также можно найти его по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_5 = 12 + (5 - 1) \cdot (-2) = 12 + 4 \cdot (-2) = 12 - 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

б) длину всей ломаной.

Длина всей ломаной — это сумма длин всех ее звеньев. Для этого нужно найти сумму первых пяти членов нашей арифметической прогрессии, $S_5$.

Это можно сделать путем прямого сложения длин всех звеньев:
$S_5 = 12 + 10 + 8 + 6 + 4 = 40$ см.

Либо можно использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_5 = \frac{12 + 4}{2} \cdot 5 = \frac{16}{2} \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$ см.

Ответ: 40 см.