Номер 1.341, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.341. Найдите наименьшее и наибольшее целые решения системы неравенств:

a) $\begin{cases}\sqrt{7x} \leq \sqrt{35}, \\\frac{3x+1}{5} > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{x+2}{3} > \frac{x}{4}, \\\sqrt{75-x} \geq \sqrt{48}.\end{cases}$

a) Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} \sqrt{7x} \le \sqrt{35} \\ \frac{3x+1}{5} > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{7x} \le \sqrt{35}$.

   Область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

   $7x \ge 0 \implies x \ge 0$

   Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

   $(\sqrt{7x})^2 \le (\sqrt{35})^2$

   $7x \le 35$

   $x \le 5$

   Объединяя с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем решение для первого неравенства: $x \in [0, 5]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{3x+1}{5} > 0$.

   Умножим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):

   $3x+1 > 0$

   $3x > -1$

   $x > -\frac{1}{3}$

   Решение второго неравенства: $x \in (-\frac{1}{3}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [0, 5] \cap (-\frac{1}{3}, +\infty)$.

   Общее решение системы: $x \in [0, 5]$.

Целые решения, принадлежащие промежутку $[0, 5]$, это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Следовательно, наименьшее целое решение равно 0, а наибольшее целое решение равно 5.

Ответ: a) наименьшее целое решение 0, наибольшее целое решение 5.

б) Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x+2}{3} > \frac{x}{4} \\ \sqrt{75-x} \ge \sqrt{48} \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x+2}{3} > \frac{x}{4}$.

   Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 12, чтобы избавиться от дробей:

   $12 \cdot \frac{x+2}{3} > 12 \cdot \frac{x}{4}$

   $4(x+2) > 3x$

   $4x + 8 > 3x$

   $4x - 3x > -8$

   $x > -8$

2. Решим второе неравенство: $\sqrt{75-x} \ge \sqrt{48}$.

   ОДЗ: $75 - x \ge 0 \implies x \le 75$.

   Возведем обе части в квадрат:

   $(\sqrt{75-x})^2 \ge (\sqrt{48})^2$

   $75 - x \ge 48$

   $-x \ge 48 - 75$

   $-x \ge -27$

   Умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

   $x \le 27$

   Решение $x \le 27$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 75$).

3. Найдем пересечение решений: $x > -8$ и $x \le 27$.

   Общее решение системы: $x \in (-8, 27]$.

Целые решения, принадлежащие промежутку $(-8, 27]$, это числа от -7 до 27 включительно.

Следовательно, наименьшее целое решение равно -7, а наибольшее целое решение равно 27.

Ответ: б) наименьшее целое решение -7, наибольшее целое решение 27.