Номер 1.336, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.336. Найдите значения переменной, при которых имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{x-2} + \sqrt{5-x}$;

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x+6}$;

в) $\sqrt{x+1} - \sqrt{6-5x}$;

г) $\sqrt{1-7x} + \sqrt{-x-6}$.

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень (арифметический квадратный корень), имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, для $\sqrt{A}$, должно выполняться условие $A \ge 0$.

а) Выражение $\sqrt{x-2} + \sqrt{5-x}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases}x - 2 \ge 0 \\5 - x \ge 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

2) $5 - x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5$

Пересечением этих двух условий является промежуток, где $x$ одновременно больше или равен 2 и меньше или равен 5.

Ответ: $2 \le x \le 5$ или $x \in [2, 5]$.

б) В выражении $\sqrt{x - \sqrt{x+6}}$ есть вложенный корень. Для того чтобы оно имело смысл, должны выполняться два условия:

1. Выражение под внутренним корнем неотрицательно: $x+6 \ge 0$.

2. Выражение под внешним корнем неотрицательно: $x - \sqrt{x+6} \ge 0$.

Получаем систему неравенств:

$$\begin{cases}x + 6 \ge 0 \\x - \sqrt{x+6} \ge 0\end{cases}$$

Из первого неравенства получаем $x \ge -6$.

Рассмотрим второе неравенство: $x \ge \sqrt{x+6}$. Так как правая часть ($\sqrt{x+6}$) по определению неотрицательна, то и левая часть ($x$) должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Это условие строже, чем $x \ge -6$.

При $x \ge 0$ обе части неравенства $x \ge \sqrt{x+6}$ неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:

$x^2 \ge (\sqrt{x+6})^2$

$x^2 \ge x + 6$

$x^2 - x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 3$.

Совмещая это решение с ранее найденным условием $x \ge 0$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \ge 3$ или $x \in [3, \infty)$.

в) Выражение $\sqrt{x+1} - \sqrt{6-5x}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему:

$$\begin{cases}x + 1 \ge 0 \\6 - 5x \ge 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $6 - 5x \ge 0 \implies 6 \ge 5x \implies x \le \frac{6}{5}$

Объединяя условия, получаем: $-1 \le x \le \frac{6}{5}$. Преобразуем неправильную дробь $\frac{6}{5}$ в смешанное число: $1 \frac{1}{5}$.

Ответ: $-1 \le x \le \mathbf{1}\frac{1}{5}$ или $x \in [-1, \mathbf{1}\frac{1}{5}]$.

г) В выражении $\sqrt{1-7x} + \sqrt{-x-6}$ оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Составим систему:

$$\begin{cases}1 - 7x \ge 0 \\-x - 6 \ge 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство:

1) $1 - 7x \ge 0 \implies 1 \ge 7x \implies x \le \frac{1}{7}$

2) $-x - 6 \ge 0 \implies -x \ge 6 \implies x \le -6$

Для выполнения системы необходимо, чтобы $x$ удовлетворял обоим неравенствам. Так как любое число, которое меньше или равно -6, автоматически меньше $\frac{1}{7}$, решением является более сильное неравенство.

Ответ: $x \le -6$ или $x \in (-\infty, -6]$.