Номер 1.343, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.343. Найдите все значения переменной $x$, при которых значение выражения $\frac{4-5x}{20}$ больше значения выражения $5-\frac{x}{10}$, а значение выражения $2 - 3x$ неотрицательно.

Для того чтобы найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие заданным условиям, необходимо решить систему из двух неравенств.

1. Составим и решим первое неравенство.

По условию, значение выражения $\frac{4-5x}{20}$ больше значения выражения $5-\frac{x}{10}$. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{4-5x}{20} > 5-\frac{x}{10}$

Для избавления от знаменателей умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 20. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$20 \cdot \left(\frac{4-5x}{20}\right) > 20 \cdot \left(5-\frac{x}{10}\right)$

$4 - 5x > 100 - 2x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $-5x$ вправо, а $100$ влево:

$4 - 100 > -2x + 5x$

$-96 > 3x$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства при делении на положительное число сохраняется.

$-32 > x$

Это неравенство можно записать как $x < -32$.

2. Составим и решим второе неравенство.

По условию, значение выражения $2 - 3x$ неотрицательно. Это означает, что оно больше или равно нулю.

$2 - 3x \geq 0$

Перенесем $3x$ в правую часть неравенства:

$2 \geq 3x$

Разделим обе части на 3:

$\frac{2}{3} \geq x$

Это неравенство можно записать как $x \leq \frac{2}{3}$.

3. Найдем общее решение.

Нам необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Для этого нужно найти пересечение решений двух неравенств:

$\begin{cases} x < -32 \\ x \leq \frac{2}{3} \end{cases}$

Решением системы является пересечение интервалов $(-\infty; -32)$ и $(-\infty; \frac{2}{3}]$. Поскольку любое число, которое меньше -32, также будет меньше или равно $\frac{2}{3}$, то общим решением системы является $x < -32$.

Найдите все значения переменной $x$, при которых значение выражения $\frac{4-5x}{20}$ больше значения выражения $5-\frac{x}{10}$, а значение выражения $2 - 3x$ неотрицательно. Ответ: $x \in (-\infty; -32)$.