Номер 1.347, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.347. Задумано целое число. Если из задуманного числа вычесть 2, то полученное число будет больше $\frac{5}{3}$ задуманного.

Если к задуманному числу прибавить 3, то полученное число будет больше $\frac{2}{5}$ задуманного. Какое число могло быть задумано?

Обозначим задуманное целое число переменной $x$.

Согласно первому условию задачи, если из этого числа вычесть 2, результат будет больше, чем $\frac{5}{3}$ самого числа. Запишем это в виде неравенства:

$x - 2 > \frac{5}{3}x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть, а числа — в другую:

$x - \frac{5}{3}x > 2$

$\frac{3x - 5x}{3} > 2$

$-\frac{2}{3}x > 2$

Умножим обе части неравенства на $-\frac{3}{2}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$

$x < -3$

Согласно второму условию, если к задуманному числу прибавить 3, результат будет больше, чем $\frac{2}{5}$ этого числа. Составим второе неравенство:

$x + 3 > \frac{2}{5}x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть, а числа — в другую:

$x - \frac{2}{5}x > -3$

$\frac{5x - 2x}{5} > -3$

$\frac{3}{5}x > -3$

Умножим обе части на $\frac{5}{3}$ (знак неравенства не меняется, так как множитель положительный):

$x > -3 \cdot \frac{5}{3}$

$x > -5$

Теперь у нас есть система из двух неравенств для целого числа $x$:

$\begin{cases} x < -3 \\ x > -5 \end{cases}$

Это означает, что $x$ находится в интервале $(-5; -3)$. Единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это -4.

Выполним проверку:

1. Проверка первого условия: $-4 - 2 > \frac{5}{3} \cdot (-4) \implies -6 > -\frac{20}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$. Неравенство $-6 > -6\frac{2}{3}$ является верным.
2. Проверка второго условия: $-4 + 3 > \frac{2}{5} \cdot (-4) \implies -1 > -\frac{8}{5}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5}$. Неравенство $-1 > -1\frac{3}{5}$ является верным.

Оба условия выполняются.

Какое число могло быть задумано? Ответ: -4