Номер 1.340, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.340. Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{\frac{x-4}{5} + 1} + \sqrt{8-x}$;

б) $\sqrt{3 - \frac{x}{8}} - \sqrt{\frac{2x+5}{3}}$.

а) Область определения выражения $\sqrt{\frac{x-4}{5}+1} + \sqrt{8-x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x-4}{5}+1 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$\frac{x-4}{5}+1 \ge 0 \implies \frac{x-4}{5} \ge -1 \implies x-4 \ge -5 \implies x \ge -1$.

Решим второе неравенство:

$8-x \ge 0 \implies 8 \ge x \implies x \le 8$.

Общим решением системы является пересечение полученных множеств, то есть все значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge -1$ и $x \le 8$.

Таким образом, область определения выражения — это промежуток $[-1, 8]$.

Ответ: $[-1, 8]$.

б) Область определения выражения $\sqrt{3-\frac{x}{8}} - \sqrt{\frac{2x+5}{3}}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3-\frac{x}{8} \ge 0 \\ \frac{2x+5}{3} \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$3-\frac{x}{8} \ge 0 \implies 3 \ge \frac{x}{8} \implies 24 \ge x \implies x \le 24$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2x+5}{3} \ge 0 \implies 2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{2}$.

Общим решением системы является пересечение полученных множеств: $-\frac{5}{2} \le x \le 24$.

Область определения — это промежуток $[-\frac{5}{2}, 24]$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число для ответа: $-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.

Ответ: $[-2\frac{1}{2}, 24]$.