Номер 1.333, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.333. Решите систему неравенств и запишите ее наибольшее целое решение:

а) $\begin{cases} \sqrt{13} - x \ge 0 \\ 2x - 1 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + \sqrt{15} > 0, \\ 5 - 7x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + \sqrt{3} \le 0, \\ 5x + 45 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{2}x < \sqrt{18}, \\ 8x - 1 > 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств и найдем ее наибольшее целое решение:

$$ \begin{cases} \sqrt{13 - x} \ge 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{13 - x} \ge 0$.

Квадратный корень по определению является неотрицательной величиной. Следовательно, это неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых выражение под корнем имеет смысл, то есть оно должно быть неотрицательным.

$13 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$13 \ge x$ или $x \le 13$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 1 > 0$.

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

3. Найдем пересечение решений. Решением системы является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям: $x \le 13$ и $x > \frac{1}{2}$.

Таким образом, решение системы: $\frac{1}{2} < x \le 13$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 1, 2, 3, ..., 12, 13.

Наибольшим целым решением является 13.

Ответ: 13

б) Решим систему неравенств и найдем ее наибольшее целое решение:

$$ \begin{cases} x + \sqrt{15} > 0 \\ 5 - 7x > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x + \sqrt{15} > 0$.

$x > -\sqrt{15}$

2. Решим второе неравенство: $5 - 7x > 0$.

$-7x > -5$

При делении на отрицательное число (-7) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-7}$

$x < \frac{5}{7}$

3. Найдем пересечение решений: $-\sqrt{15} < x < \frac{5}{7}$.

Оценим значения границ промежутка. Мы знаем, что $3^2=9$ и $4^2=16$, поэтому $3 < \sqrt{15} < 4$. Следовательно, $-4 < -\sqrt{15} < -3$. Дробь $\frac{5}{7}$ меньше 1. Таким образом, интервал решений приблизительно $(-3.87, 0.71)$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -3, -2, -1, 0.

Наибольшим целым решением является 0.

Ответ: 0

в) Решим систему неравенств и найдем ее наибольшее целое решение:

$$ \begin{cases} 2x + \sqrt{3} \le 0 \\ 5x + 45 > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $2x + \sqrt{3} \le 0$.

$2x \le -\sqrt{3}$

$x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Решим второе неравенство: $5x + 45 > 0$.

$5x > -45$

$x > -\frac{45}{5}$

$x > -9$

3. Найдем пересечение решений: $-9 < x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оценим значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $1^2=1$ и $2^2=4$, поэтому $1 < \sqrt{3} < 2$. Приблизительно $\sqrt{3} \approx 1.732$. Тогда $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

Интервал решений: $(-9, -0.866]$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1.

Наибольшим целым решением является -1.

Ответ: -1

г) Решим систему неравенств и найдем ее наибольшее целое решение:

$$ \begin{cases} \sqrt{2}x < \sqrt{18} \\ 8x - 1 > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{2}x < \sqrt{18}$.

Упростим $\sqrt{18}$: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{2}x < 3\sqrt{2}$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$x < 3$

2. Решим второе неравенство: $8x - 1 > 0$.

$8x > 1$

$x > \frac{1}{8}$

3. Найдем пересечение решений: $\frac{1}{8} < x < 3$.

Интервал решений: $(0.125, 3)$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 1, 2.

Наибольшим целым решением является 2.

Ответ: 2