Номер 1.332, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.332. Из систем неравенств

$\begin{cases} x \le \sqrt{2}, \\ x < \sqrt{2}; \end{cases}$ $\begin{cases} x \le \sqrt{2}, \\ x > \sqrt{2}; \end{cases}$ $\begin{cases} x \le \sqrt{2}, \\ x \ge \sqrt{2}; \end{cases}$ $\begin{cases} x > \sqrt{2}, \\ x < \sqrt{2} \end{cases}$

выберите системы:

а) не имеющие решений;

б) множество решений которых состоит только из одного числа.

Для ответа на вопрос проанализируем каждую из предложенных систем неравенств, чтобы определить множество их решений.

1. Система $\left\{\begin{array}{l}x \le \sqrt{2}, \\ x < \sqrt{2};\end{array}\right.$
Решением первого неравенства является множество $x \in (-\infty; \sqrt{2}]$. Решением второго — $x \in (-\infty; \sqrt{2})$. Пересечением этих двух множеств является интервал $(-\infty; \sqrt{2})$. Эта система имеет бесконечное множество решений.

2. Система $\left\{\begin{array}{l}x \le \sqrt{2}, \\ x > \sqrt{2};\end{array}\right.$
Нужно найти число $x$, которое одновременно меньше или равно $\sqrt{2}$ и строго больше $\sqrt{2}$. Таких чисел не существует. Пересечение множеств $(-\infty; \sqrt{2}]$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$ является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

3. Система $\left\{\begin{array}{l}x \le \sqrt{2}, \\ x \ge \sqrt{2};\end{array}\right.$
Нужно найти число $x$, которое одновременно меньше или равно $\sqrt{2}$ и больше или равно $\sqrt{2}$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = \sqrt{2}$. Множество решений состоит из одного числа.

4. Система $\left\{\begin{array}{l}x > \sqrt{2}, \\ x < \sqrt{2};\end{array}\right.$
Нужно найти число $x$, которое одновременно строго больше $\sqrt{2}$ и строго меньше $\sqrt{2}$. Таких чисел не существует. Пересечение множеств $(\sqrt{2}; +\infty)$ и $(-\infty; \sqrt{2})$ является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

На основе проведенного анализа выберем системы, удовлетворяющие условиям задачи.

а) не имеющие решений;
Этому условию соответствуют системы, у которых множество решений пусто. Как было показано выше, это вторая и четвертая системы.
Ответ: $\left\{\begin{array}{l}x \le \sqrt{2}, \\ x > \sqrt{2};\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l}x > \sqrt{2}, \\ x < \sqrt{2}.\end{array}\right.$

б) множество решений которых состоит только из одного числа.
Этому условию соответствует система, решением которой является единственное число. Как было показано выше, это третья система.
Ответ: $\left\{\begin{array}{l}x \le \sqrt{2}, \\ x \ge \sqrt{2}.\end{array}\right.$