Номер 1.330, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.330. Решите систему неравенств, используя алгоритм:

a) $\begin{cases} 8x > -8, \\ -4x \le 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2,5x \ge -5, \\ -2x > -4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,25x < 1, \\ -2x \ge -6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{7}x \le 5, \\ -4x > -12. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 8x > -8, \\ -4x \le 8 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $8x > -8$.
Разделим обе части на 8 (знак неравенства сохраняется):
$x > \frac{-8}{8}$
$x > -1$.

2. Решим второе неравенство: $-4x \le 8$.
Разделим обе части на -4 (знак неравенства меняется на противоположный):
$x \ge \frac{8}{-4}$
$x \ge -2$.

3. Найдем пересечение решений.
Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > -1$ и $x \ge -2$.
Пересечением интервалов $(-1, +\infty)$ и $[-2, +\infty)$ является интервал $(-1, +\infty)$.

Ответ: $(-1, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2,5x \ge -5, \\ -2x > -4 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $2,5x \ge -5$.
Разделим обе части на 2,5:
$x \ge \frac{-5}{2,5}$
$x \ge -2$.

2. Решим второе неравенство: $-2x > -4$.
Разделим обе части на -2 (знак неравенства меняется):
$x < \frac{-4}{-2}$
$x < 2$.

3. Найдем пересечение решений.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \ge -2$ и $x < 2$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $-2 \le x < 2$.
Решением является интервал $[-2, 2)$.

Ответ: $[\textbf{-2}, 2)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 0,25x < 1, \\ -2x \ge -6 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $0,25x < 1$.
Разделим обе части на 0,25 (что равносильно умножению на 4):
$x < \frac{1}{0,25}$
$x < 4$.

2. Решим второе неравенство: $-2x \ge -6$.
Разделим обе части на -2 (знак неравенства меняется):
$x \le \frac{-6}{-2}$
$x \le 3$.

3. Найдем пересечение решений.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x < 4$ и $x \le 3$.
Если число меньше или равно 3, оно автоматически меньше 4. Таким образом, общее решение — это $x \le 3$.

Ответ: $(-\infty, \textbf{3}]$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{1}{7}x \le 5, \\ -4x > -12 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\frac{1}{7}x \le 5$.
Умножим обе части на 7:
$x \le 5 \cdot 7$
$x \le 35$.

2. Решим второе неравенство: $-4x > -12$.
Разделим обе части на -4 (знак неравенства меняется):
$x < \frac{-12}{-4}$
$x < 3$.

3. Найдем пересечение решений.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \le 35$ и $x < 3$.
Если число меньше 3, оно автоматически меньше или равно 35. Следовательно, общее решение — это $x < 3$.

Ответ: $(-\infty, 3)$.