Номер 1.334, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.334. Придумайте систему двух линейных неравенств, решением которой является:

а) промежуток $(3; 7]$;

б) число $8$;

в) промежуток $[\sqrt{3};+\infty)$;

г) пустое множество.

а) Для того чтобы решением системы линейных неравенств был промежуток $(3; 7]$, необходимо найти пересечение двух множеств. Данный промежуток включает в себя все числа, которые строго больше 3 и одновременно меньше или равны 7. Эти условия можно записать в виде двух отдельных линейных неравенств: $x > 3$ и $x \le 7$. Объединив их в систему, мы получим искомый результат.
Ответ: $$ \begin{cases} x > 3 \\ x \le 7 \end{cases} $$

б) Чтобы решением системы было единственное число 8, необходимо, чтобы множества решений двух неравенств пересекались ровно в одной точке. Этого можно достичь, если потребовать, чтобы переменная $x$ была одновременно не меньше 8 ($x \ge 8$) и не больше 8 ($x \le 8$). Единственное значение, удовлетворяющее обоим этим условиям — это само число 8.
Ответ: $$ \begin{cases} x \ge 8 \\ x \le 8 \end{cases} $$

в) Решением системы должен быть промежуток $[\sqrt{3}; +\infty)$, что соответствует условию $x \ge \sqrt{3}$. Чтобы получить этот промежуток как решение системы из двух неравенств, можно составить систему, в которой одно неравенство задает основное ограничение ($x \ge \sqrt{3}$), а второе является "избыточным", то есть его множество решений полностью включает в себя множество решений первого. Например, можно взять неравенство $x \ge 1$. Поскольку $\sqrt{3} > 1$, любое число, удовлетворяющее условию $x \ge \sqrt{3}$, автоматически удовлетворяет и условию $x \ge 1$. Таким образом, пересечение решений $x \ge \sqrt{3}$ и $x \ge 1$ даст нам нужный промежуток $[\sqrt{3}; +\infty)$.
Ответ: $$ \begin{cases} x \ge \sqrt{3} \\ x \ge 1 \end{cases} $$

г) Пустое множество в качестве решения системы неравенств означает, что не существует ни одного значения $x$, которое бы удовлетворяло всем неравенствам системы одновременно. Такие неравенства называются несовместными или противоречивыми. Чтобы составить такую систему, нужно задать два взаимоисключающих условия. Например, можно потребовать, чтобы $x$ был строго меньше 2 ($x < 2$) и в то же время строго больше 5 ($x > 5$). Очевидно, что таких чисел не существует, и пересечение множеств решений $(-\infty; 2)$ и $(5; +\infty)$ является пустым.
Ответ: $$ \begin{cases} x < 2 \\ x > 5 \end{cases} $$