Номер 1.331, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.331. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} x > 4, \\ x \ge 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x > -10, \\ x \le -5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 6x \ge 12, \\ -4x \le -8; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \frac{1}{3}x \ge 5, \\ -3x \ge -45. \end{cases} $

а) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > 4 \\ x \ge 4 \end{cases} $$ Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство, $x > 4$, означает все числа, строго большие 4. В виде интервала это записывается как $(4, +\infty)$.
Второе неравенство, $x \ge 4$, означает все числа, большие или равные 4. В виде интервала это записывается как $[4, +\infty)$.
Необходимо найти пересечение этих двух интервалов: $(4, +\infty) \cap [4, +\infty)$.
Пересечением является интервал $(4, +\infty)$, так как число 4 не входит в первый интервал.
Ответ: $x \in (4, +\infty)$ или $x > 4$.

б) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} 2x > -10 \\ x \le -5 \end{cases} $$ Сначала упростим каждое неравенство.
1. Решим первое неравенство $2x > -10$. Разделим обе части на 2 (знак неравенства не меняется): $$x > \frac{-10}{2}$$ $$x > -5$$ 2. Второе неравенство $x \le -5$ уже представлено в простейшем виде.
Теперь система выглядит так: $$ \begin{cases} x > -5 \\ x \le -5 \end{cases} $$ Нужно найти значения $x$, которые одновременно строго больше -5 и меньше либо равны -5. Таких чисел не существует, поскольку эти два условия взаимоисключающие. Множества решений не пересекаются.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} 6x \ge 12 \\ -4x \le -8 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство отдельно.
1. Решим $6x \ge 12$. Разделим обе части на 6: $$x \ge \frac{12}{6}$$ $$x \ge 2$$ 2. Решим $-4x \le -8$. Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$x \ge \frac{-8}{-4}$$ $$x \ge 2$$ Оба неравенства приводят к одному и тому же условию: $x \ge 2$.
Ответ: $x \in [2, +\infty)$ или $x \ge 2$.

г) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} \frac{1}{3}x \ge 5 \\ -3x \ge -45 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство.
1. Решим $\frac{1}{3}x \ge 5$. Умножим обе части на 3: $$x \ge 5 \cdot 3$$ $$x \ge 15$$ 2. Решим $-3x \ge -45$. Разделим обе части на -3, не забывая изменить знак неравенства на противоположный: $$x \le \frac{-45}{-3}$$ $$x \le 15$$ Получили систему: $$ \begin{cases} x \ge 15 \\ x \le 15 \end{cases} $$ Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям (больше или равно 15 и меньше или равно 15), это само число 15.
Ответ: $x = 15$.