Номер 2.58, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.58. Найдите корни уравнения:

a) $\frac{(x-1)^2}{5} - \frac{2x-2}{3} = \frac{x+4}{6};$

б) $\frac{(x-3)^2}{8} - \frac{(x-2)^2}{2} = 2-2x;$

в) $\frac{(x+2)^2}{5} - \frac{(2x+1)^2}{10} = \frac{1-x}{2};$

г) $\frac{(x-1)^2}{12} + \frac{3x+1}{6} = \frac{(x+1)^2}{3}.$

а) $\frac{(x-1)^2}{5} - \frac{2x-2}{3} = \frac{x+4}{6}$

Для того чтобы избавиться от дробей, приведем все члены уравнения к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 3 и 6 это 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \frac{(x-1)^2}{5} - 30 \cdot \frac{2x-2}{3} = 30 \cdot \frac{x+4}{6}$

$6(x-1)^2 - 10(2x-2) = 5(x+4)$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$6(x^2 - 2x + 1) - 20x + 20 = 5x + 20$

$6x^2 - 12x + 6 - 20x + 20 = 5x + 20$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$6x^2 - 32x + 26 = 5x + 20$

$6x^2 - 32x - 5x + 26 - 20 = 0$

$6x^2 - 37x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 - 144 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-37) + 35}{2 \cdot 6} = \frac{37 + 35}{12} = \frac{72}{12} = 6$

$x_2 = \frac{-(-37) - 35}{2 \cdot 6} = \frac{37 - 35}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $6; \frac{1}{6}$

б) $\frac{(x-3)^2}{8} - \frac{(x-2)^2}{2} = 2 - 2x$

Общий знаменатель для 8 и 2 это 8. Умножим обе части уравнения на 8:

$8 \cdot \frac{(x-3)^2}{8} - 8 \cdot \frac{(x-2)^2}{2} = 8(2 - 2x)$

$(x-3)^2 - 4(x-2)^2 = 16 - 16x$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 6x + 9) - 4(x^2 - 4x + 4) = 16 - 16x$

$x^2 - 6x + 9 - 4x^2 + 16x - 16 = 16 - 16x$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 + 10x - 7 = 16 - 16x$

$-3x^2 + 10x + 16x - 7 - 16 = 0$

$-3x^2 + 26x - 23 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$3x^2 - 26x + 23 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 23 = 676 - 276 = 400$

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{26 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{46}{6} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{26 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: $1; 7\frac{2}{3}$

в) $\frac{(x+2)^2}{5} - \frac{(2x+1)^2}{10} = \frac{1-x}{2}$

Общий знаменатель для 5, 10 и 2 это 10. Умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot \frac{(x+2)^2}{5} - 10 \cdot \frac{(2x+1)^2}{10} = 10 \cdot \frac{1-x}{2}$

$2(x+2)^2 - (2x+1)^2 = 5(1-x)$

Раскроем скобки:

$2(x^2 + 4x + 4) - (4x^2 + 4x + 1) = 5 - 5x$

$2x^2 + 8x + 8 - 4x^2 - 4x - 1 = 5 - 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x^2 + 4x + 7 = 5 - 5x$

$-2x^2 + 4x + 5x + 7 - 5 = 0$

$-2x^2 + 9x + 2 = 0$

Умножим на -1:

$2x^2 - 9x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 81 + 16 = 97$

Так как $\sqrt{97}$ является иррациональным числом, оставим ответ в виде дроби:

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{97}}{4}$

Ответ: $\frac{9 \pm \sqrt{97}}{4}$

г) $\frac{(x-1)^2}{12} + \frac{3x+1}{6} = \frac{(x+1)^2}{3}$

Общий знаменатель для 12, 6 и 3 это 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{(x-1)^2}{12} + 12 \cdot \frac{3x+1}{6} = 12 \cdot \frac{(x+1)^2}{3}$

$(x-1)^2 + 2(3x+1) = 4(x+1)^2$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x + 1) + 6x + 2 = 4(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 + 4x + 3 = 4x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 4x^2 - x^2 + 8x - 4x + 4 - 3$

$3x^2 + 4x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Ответ: $-1; -\frac{1}{3}$