Номер 2.53, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.53. Решите уравнение:

а) $0.25x^2 - 1.25x + 1 = 0;$

б) $0.1x^2 + 0.6x - 0.7 = 0;$

В) $x^2 - \frac{8}{9}x = \frac{1}{9};$

Г) $x^2 - \frac{x}{3} = 1\frac{1}{3}.$

а) $0,25x^2 - 1,25x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Для удобства решения умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$4 \cdot (0,25x^2 - 1,25x + 1) = 4 \cdot 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 4$.

б) $0,1x^2 + 0,6x - 0,7 = 0$

Умножим все члены уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (0,1x^2 + 0,6x - 0,7) = 10 \cdot 0$

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим полученное уравнение. Здесь $a=1$, $b=6$, $c=-7$.

Вычислим дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $-7; 1$.

в) $x^2 - \frac{8}{9}x = \frac{1}{9}$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - \frac{8}{9}x - \frac{1}{9} = 0$

Умножим все члены уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:

$9 \cdot (x^2 - \frac{8}{9}x - \frac{1}{9}) = 9 \cdot 0$

$9x^2 - 8x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Здесь $a=9$, $b=-8$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Ответ: $-\frac{1}{9}; 1$.

г) $x^2 - \frac{x}{3} = 1\frac{1}{3}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Затем приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{4}{3} = 0$

Умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot (x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}) = 3 \cdot 0$

$3x^2 - x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Здесь $a=3$, $b=-1$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Один из корней - неправильная дробь $\frac{4}{3}$. Выделим из нее целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $-1; 1\frac{1}{3}$.