Номер 2.47, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.47. Найдите значения переменной, при которых:

а) значение двучлена $x^2 + x$ равно 20;

б) значения выражений $3x^2 + 2x - 1$ и $5x + 5$ равны.

а) Для того чтобы найти значения переменной $x$, при которых значение двучлена $x^2 + x$ равно 20, необходимо составить и решить уравнение:

$x^2 + x = 20$

Перенесем 20 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + x - 20 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-20$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Следовательно, при $x=4$ и $x=-5$ значение двучлена равно 20.

Ответ: -5; 4.

б) Для того чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения выражений $3x^2 + 2x - 1$ и $5x + 5$ равны, необходимо приравнять эти выражения и решить полученное уравнение:

$3x^2 + 2x - 1 = 5x + 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 2x - 5x - 1 - 5 = 0$

$3x^2 - 3x - 6 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты уравнения делятся на 3. Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Теперь решим это приведенное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-2$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Следовательно, при $x=2$ и $x=-1$ значения данных выражений равны.

Ответ: -1; 2.