Номер 2.49, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.49. Найдите значения переменной, при которых значение выражения:

а) $4x(x-1)$ равно 3;

б) $3x(3x-8)$ равно 20.

а) Чтобы найти значения переменной, при которых значение выражения $4x(x-1)$ равно 3, необходимо составить и решить уравнение:
$4x(x-1) = 3$
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 - 4x = 3$
$4x^2 - 4x - 3 = 0$
Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$; 1$\frac{1}{2}$.

б) Чтобы найти значения переменной, при которых значение выражения $3x(3x-8)$ равно 20, необходимо составить и решить уравнение:
$3x(3x-8) = 20$
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$9x^2 - 24x = 20$
$9x^2 - 24x - 20 = 0$
Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 576 + 720 = 1296$
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{1296}}{2 \cdot 9} = \frac{24 + 36}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{1296}}{2 \cdot 9} = \frac{24 - 36}{18} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$; 3$\frac{1}{3}$.