Номер 2.55, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.55. Решите уравнение:

a) $(x - 4)(x + 4) = 2x(x + 5);$

б) $(2x - 3)(2x + 3) = (x + 1)(x - 2) - 5;$

в) $(x + 2)^2 + 9x = 2(x - 1)(x + 3);$

г) $(3x - 1)^2 - (x - 8)(x - 4) = -27;$

д) $(x + 3)^2 + (x - 4)^2 = 29;$

е) $(3x - 1)^2 - (2x + 1)^2 = 15;$

ж) $(3x - 1)^2 + 29 = (2x + 5)^2;$

з) $(4x - 3)^2 - (x - 5)^2 = 9(x - 1)^2.$

а) Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $, а в правой — правило умножения одночлена на многочлен. $ (x - 4)(x + 4) = 2x(x + 5) $ $ x^2 - 16 = 2x^2 + 10x $ Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ 2x^2 - x^2 + 10x + 16 = 0 $ $ x^2 + 10x + 16 = 0 $ Решим полученное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $ -10 $, а их произведение равно $ 16 $. $ x_1 + x_2 = -10 $ $ x_1 \cdot x_2 = 16 $ Подбором находим корни: $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = -2 $.
Ответ: $ x_1 = -8, x_2 = -2 $.

б) Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу разности квадратов. $ (2x - 3)(2x + 3) = (x + 1)(x - 2) - 5 $ $ (2x)^2 - 3^2 = x^2 - 2x + x - 2 - 5 $ $ 4x^2 - 9 = x^2 - x - 7 $ Перенесем все члены в левую часть: $ 4x^2 - x^2 + x - 9 + 7 = 0 $ $ 3x^2 + x - 2 = 0 $ Решим квадратное уравнение через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $: $ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 $ $ \sqrt{D} = 5 $ $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6} $ $ x_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $ $ x_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 $
Ответ: $ x_1 = -1, x_2 = \frac{2}{3} $.

в) Раскроем скобки в обеих частях уравнения. $ (x + 2)^2 + 9x = 2(x - 1)(x + 3) $ $ x^2 + 4x + 4 + 9x = 2(x^2 + 3x - x - 3) $ $ x^2 + 13x + 4 = 2(x^2 + 2x - 3) $ $ x^2 + 13x + 4 = 2x^2 + 4x - 6 $ Перенесем все члены в правую часть: $ 2x^2 - x^2 + 4x - 13x - 6 - 4 = 0 $ $ x^2 - 9x - 10 = 0 $ По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 9 $ $ x_1 \cdot x_2 = -10 $ Корни уравнения: $ x_1 = 10 $ и $ x_2 = -1 $.
Ответ: $ x_1 = -1, x_2 = 10 $.

г) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. $ (3x - 1)^2 - (x - 8)(x - 4) = -27 $ $ (9x^2 - 6x + 1) - (x^2 - 4x - 8x + 32) = -27 $ $ 9x^2 - 6x + 1 - (x^2 - 12x + 32) = -27 $ $ 9x^2 - 6x + 1 - x^2 + 12x - 32 = -27 $ $ 8x^2 + 6x - 31 = -27 $ $ 8x^2 + 6x - 4 = 0 $ Разделим уравнение на 2: $ 4x^2 + 3x - 2 = 0 $ Решим через дискриминант: $ D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 9 + 32 = 41 $ $ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{8} $
Ответ: $ x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{8} $.

д) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности. $ (x + 3)^2 + (x - 4)^2 = 29 $ $ (x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 8x + 16) = 29 $ $ 2x^2 - 2x + 25 = 29 $ $ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $ Разделим уравнение на 2: $ x^2 - x - 2 = 0 $ По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 1 $ $ x_1 \cdot x_2 = -2 $ Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $.
Ответ: $ x_1 = -1, x_2 = 2 $.

е) Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $. $ (3x - 1)^2 - (2x + 1)^2 = 15 $ $ ((3x - 1) - (2x + 1))((3x - 1) + (2x + 1)) = 15 $ $ (3x - 1 - 2x - 1)(3x - 1 + 2x + 1) = 15 $ $ (x - 2)(5x) = 15 $ $ 5x^2 - 10x = 15 $ $ 5x^2 - 10x - 15 = 0 $ Разделим уравнение на 5: $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 2 $ $ x_1 \cdot x_2 = -3 $ Корни уравнения: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.
Ответ: $ x_1 = -1, x_2 = 3 $.

ж) Перенесем слагаемые, чтобы использовать формулу разности квадратов. $ (3x - 1)^2 + 29 = (2x + 5)^2 $ $ (2x + 5)^2 - (3x - 1)^2 = 29 $ $ ((2x + 5) - (3x - 1))((2x + 5) + (3x - 1)) = 29 $ $ (2x + 5 - 3x + 1)(2x + 5 + 3x - 1) = 29 $ $ (-x + 6)(5x + 4) = 29 $ $ -5x^2 - 4x + 30x + 24 = 29 $ $ -5x^2 + 26x + 24 - 29 = 0 $ $ -5x^2 + 26x - 5 = 0 $ Умножим на -1: $ 5x^2 - 26x + 5 = 0 $ Решим через дискриминант: $ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 $ $ x_{1,2} = \frac{26 \pm 24}{2 \cdot 5} = \frac{26 \pm 24}{10} $ $ x_1 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5 $ $ x_2 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $
Ответ: $ x_1 = \frac{1}{5}, x_2 = 5 $.

з) Раскроем скобки в обеих частях уравнения. $ (4x - 3)^2 - (x - 5)^2 = 9(x - 1)^2 $ $ (16x^2 - 24x + 9) - (x^2 - 10x + 25) = 9(x^2 - 2x + 1) $ $ 16x^2 - 24x + 9 - x^2 + 10x - 25 = 9x^2 - 18x + 9 $ $ 15x^2 - 14x - 16 = 9x^2 - 18x + 9 $ Перенесем все члены в левую часть: $ 15x^2 - 9x^2 - 14x + 18x - 16 - 9 = 0 $ $ 6x^2 + 4x - 25 = 0 $ Решим через дискриминант: $ D = 4^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-25) = 16 + 600 = 616 $ $ \sqrt{D} = \sqrt{4 \cdot 154} = 2\sqrt{154} $ $ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{154}}{2 \cdot 6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{154}}{12} = \frac{2(-2 \pm \sqrt{154})}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{154}}{6} $
Ответ: $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{154}}{6} $.