Номер 2.54, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.54. Найдите значения переменной, при которых:

а) значение квадрата двучлена $3x - 1$ равно значению выражения $6x - 2$;

б) значения квадратов двучленов $3x + 3$ и $4x - 4$ равны.

а) Согласно условию, значение квадрата двучлена $3x - 1$ равно значению выражения $6x - 2$. Это можно записать в виде уравнения:

$(3x - 1)^2 = 6x - 2$

Раскроем квадрат разности в левой части по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 6x - 2$

$9x^2 - 6x + 1 = 6x - 2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$9x^2 - 6x - 6x + 1 + 2 = 0$

$9x^2 - 12x + 3 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 3:

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $1$; $\frac{1}{3}$.

б) Согласно условию, значения квадратов двучленов $3x + 3$ и $4x - 4$ равны. Запишем это в виде уравнения:

$(3x + 3)^2 = (4x - 4)^2$

Перенесём выражение из правой части уравнения в левую, чтобы использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(3x + 3)^2 - (4x - 4)^2 = 0$

$((3x + 3) - (4x - 4)) \cdot ((3x + 3) + (4x - 4)) = 0$

Раскроем внутренние скобки в каждом множителе:

$(3x + 3 - 4x + 4) \cdot (3x + 3 + 4x - 4) = 0$

Приведём подобные слагаемые:

$(-x + 7)(7x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два линейных уравнения:

1) $-x + 7 = 0 \implies x = 7$

2) $7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x = \frac{1}{7}$

Ответ: $7$; $\frac{1}{7}$.