Номер 2.48, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.48. Решите уравнение:

а) $x(x-1)=12$;

б) $x(3x+7)=6$;

в) $x(4x-11)=3$;

г) $3x(3x-4)=5$.

а) $x(x - 1) = 12$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в левой части:

$x^2 - x = 12$

Затем перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-1$, $c=-12$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$ ($49 > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: -3; 4.

б) $x(3x + 7) = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3x^2 + 7x = 6$

$3x^2 + 7x - 6 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=7$, $c=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

Так как $D > 0$ ($121 > 0$), находим два корня уравнения:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: -3; $\frac{2}{3}$.

в) $x(4x - 11) = 3$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 11x = 3$

$4x^2 - 11x - 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-11$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$

Так как $D > 0$ ($169 > 0$), находим два корня уравнения:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$; 3.

г) $3x(3x - 4) = 5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9x^2 - 12x = 5$

$9x^2 - 12x - 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=9$, $b=-12$, $c=-5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 144 + 180 = 324$

Так как $D > 0$ ($324 > 0$), находим два корня уравнения:

$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{324}}{2 \cdot 9} = \frac{12 + 18}{18} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{324}}{2 \cdot 9} = \frac{12 - 18}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_1 = \frac{5}{3}$ является неправильной дробью. Выделим из него целую часть:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$; $1\frac{2}{3}$.