Номер 2.46, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.46. Решите уравнение:

а) $4x^2 + x = 5;$

б) $12x^2 + 1 = 13x;$

в) $x^2 = 8x - 7;$

г) $5 - 9x = 2x^2;$

д) $6x^2 - x = x^2 + 4;$

е) $9x^2 - 1 = x - 11x^2;$

ж) $7x - 3 = 5x^2 - x;$

з) $3 - 8x = 2x - 8x^2.$

а) $4x^2 + x = 5$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$4x^2 + x - 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4, b=1, c=-5$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$.

Ответ: $1; -1\frac{1}{4}$.

б) $12x^2 + 1 = 13x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$12x^2 - 13x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=12, b=-13, c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 169 - 48 = 121$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 12} = \frac{13 + 11}{24} = \frac{24}{24} = 1$

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{121}}{2 \cdot 12} = \frac{13 - 11}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Ответ: $1; \frac{1}{12}$.

в) $x^2 = 8x - 7$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=7$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $7; 1$.

г) $5 - 9x = 2x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$2x^2 + 9x - 5 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=9, c=-5$.

Вычислим дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Ответ: $\frac{1}{2}; -5$.

д) $6x^2 - x = x^2 + 4$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$6x^2 - x^2 - x - 4 = 0$

$5x^2 - x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a=5, b=-1, c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$

Ответ: $1; -\frac{4}{5}$.

е) $9x^2 - 1 = x - 11x^2$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$9x^2 + 11x^2 - x - 1 = 0$

$20x^2 - x - 1 = 0$

Коэффициенты: $a=20, b=-1, c=-1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 20} = \frac{1 + 9}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 20} = \frac{1 - 9}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{4}; -\frac{1}{5}$.

ж) $7x - 3 = 5x^2 - x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$5x^2 - x - 7x + 3 = 0$

$5x^2 - 8x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=5, b=-8, c=3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Ответ: $1; \frac{3}{5}$.

з) $3 - 8x = 2x - 8x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$8x^2 - 8x - 2x + 3 = 0$

$8x^2 - 10x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=8, b=-10, c=3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{3}{4}; \frac{1}{2}$.