Номер 2.39, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Рассмотрим выражение $x^2 + 4x + 5$. Первые два слагаемых $x^2 + 4x$ должны соответствовать первым двум членам формулы квадрата суммы $a^2 + 2ab$.

Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$.

Тогда удвоенное произведение $2ab$ должно быть равно $4x$. Подставим $a=x$:
$2 \cdot x \cdot b = 4x$
$2b = 4$
$b = 2$

Для получения полного квадрата $(x+2)^2$ нам не хватает слагаемого $b^2 = 2^2 = 4$.
Формула полного квадрата: $(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.

Представим исходное выражение, выделив в нем $x^2 + 4x + 4$. Для этого можно представить число 5 как сумму $4+1$:

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1$

Теперь заменяем выражение в скобках на полный квадрат:

$(x+2)^2 + 1$

Рассмотрим выражение $9x^2 - 6x - 1$. Знак "минус" перед вторым членом указывает, что мы будем использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a^2 = 9x^2$, тогда $a = \sqrt{9x^2} = 3x$.

Удвоенное произведение $2ab$ должно быть равно $6x$. Подставим $a=3x$:
$2 \cdot (3x) \cdot b = 6x$
$6xb = 6x$
$b = 1$

Для получения полного квадрата $(3x-1)^2$ нам необходимо слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$.
Формула полного квадрата: $(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$.

Чтобы выделить этот квадрат в исходном выражении, прибавим и отнимем 1 (или представим -1 как $+1-2$):

$9x^2 - 6x - 1 = (9x^2 - 6x + 1) - 1 - 1$

Заменяем выражение в скобках на полный квадрат и упрощаем оставшуюся часть:

$(3x-1)^2 - 2$

Рассмотрим выражение $25x^2 - 20x - 7$. Здесь также используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a^2 = 25x^2$, тогда $a = \sqrt{25x^2} = 5x$.

Удвоенное произведение $2ab$ должно быть равно $20x$. Подставим $a=5x$:
$2 \cdot (5x) \cdot b = 20x$
$10xb = 20x$
$b = 2$

Для полного квадрата $(5x-2)^2$ нам необходимо слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$.
Формула полного квадрата: $(5x-2)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4$.

Чтобы выделить этот квадрат, прибавим и отнимем 4 (или представим -7 как $+4-11$):

$25x^2 - 20x - 7 = (25x^2 - 20x + 4) - 4 - 7$

Заменяем выражение в скобках на полный квадрат и упрощаем оставшуюся часть:

$(5x-2)^2 - 11$