Номер 2.38, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.38. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 + 4x + 4;$

б) $9x^2 - 6x + 1;$

в) $25x^2 - 20x + 4.$

а) Для разложения данного многочлена на множители используется формула сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В выражении $x^2 + 4x + 4$ мы можем определить:
- $a^2 = x^2$, откуда $a = x$.
- $b^2 = 4$, откуда $b = 2$.
- Проверим средний член, который должен быть равен $2ab$: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Так как все условия выполнены, многочлен является полным квадратом суммы $(x+2)$.
$x^2 + 4x + 4 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.
Ответ: $(x+2)^2$.

б) Для разложения данного многочлена на множители используется формула сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В выражении $9x^2 - 6x + 1$ мы можем определить:
- $a^2 = 9x^2$, откуда $a = 3x$.
- $b^2 = 1$, откуда $b = 1$.
- Проверим средний член, который должен быть равен $2ab$: $2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$.
Знак перед средним членом отрицательный, поэтому это полный квадрат разности $(3x-1)$.
$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$.
Ответ: $(3x-1)^2$.

в) Для разложения данного многочлена на множители используется формула сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В выражении $25x^2 - 20x + 4$ мы можем определить:
- $a^2 = 25x^2$, откуда $a = 5x$.
- $b^2 = 4$, откуда $b = 2$.
- Проверим средний член, который должен быть равен $2ab$: $2 \cdot (5x) \cdot 2 = 20x$.
Знак перед средним членом отрицательный, поэтому это полный квадрат разности $(5x-2)$.
$25x^2 - 20x + 4 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 2^2 = (5x-2)^2$.
Ответ: $(5x-2)^2$.