Номер 2.33, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.33. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел, записанных в стандартном виде:

a) $6 \cdot 10^9$ и $2 \cdot 10^9$;

б) $8 \cdot 10^{-12}$ и $4 \cdot 10^{-12}$.

а) Найдем сумму, разность, произведение и частное чисел $6 \cdot 10^9$ и $2 \cdot 10^9$.

Сумма:
Для сложения чисел в стандартном виде с одинаковым показателем степени, мы складываем их мантиссы (коэффициенты перед степенью) и умножаем результат на общую степень десяти: $6 \cdot 10^9 + 2 \cdot 10^9 = (6 + 2) \cdot 10^9 = 8 \cdot 10^9$.
Результат $8 \cdot 10^9$ уже записан в стандартном виде, так как $1 \le 8 < 10$.

Разность:
Аналогично сложению, для нахождения разности мы вычитаем мантиссы: $6 \cdot 10^9 - 2 \cdot 10^9 = (6 - 2) \cdot 10^9 = 4 \cdot 10^9$.
Результат $4 \cdot 10^9$ также в стандартном виде, так как $1 \le 4 < 10$.

Произведение:
Для умножения чисел в стандартном виде мы перемножаем мантиссы, а показатели степеней складываем: $(6 \cdot 10^9) \cdot (2 \cdot 10^9) = (6 \cdot 2) \cdot 10^{9+9} = 12 \cdot 10^{18}$.
Чтобы привести результат к стандартному виду, необходимо, чтобы мантисса была в диапазоне $[1, 10)$. Представим $12$ как $1.2 \cdot 10^1$: $12 \cdot 10^{18} = (1.2 \cdot 10^1) \cdot 10^{18} = 1.2 \cdot 10^{1+18} = 1.2 \cdot 10^{19}$.

Частное:
Для деления чисел в стандартном виде мы делим мантиссы, а из показателя степени делимого вычитаем показатель степени делителя: $\frac{6 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^9} = \frac{6}{2} \cdot 10^{9-9} = 3 \cdot 10^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: сумма: $8 \cdot 10^9$; разность: $4 \cdot 10^9$; произведение: $1.2 \cdot 10^{19}$; частное: $3$.

б) Найдем сумму, разность, произведение и частное чисел $8 \cdot 10^{-12}$ и $4 \cdot 10^{-12}$.

Сумма:
Складываем мантиссы, так как показатели степеней ($10^{-12}$) одинаковы: $8 \cdot 10^{-12} + 4 \cdot 10^{-12} = (8 + 4) \cdot 10^{-12} = 12 \cdot 10^{-12}$.
Приводим результат к стандартному виду ($12 = 1.2 \cdot 10^1$): $12 \cdot 10^{-12} = (1.2 \cdot 10^1) \cdot 10^{-12} = 1.2 \cdot 10^{1+(-12)} = 1.2 \cdot 10^{-11}$.

Разность:
Вычитаем мантиссы: $8 \cdot 10^{-12} - 4 \cdot 10^{-12} = (8 - 4) \cdot 10^{-12} = 4 \cdot 10^{-12}$.
Результат $4 \cdot 10^{-12}$ записан в стандартном виде, так как $1 \le 4 < 10$.

Произведение:
Перемножаем мантиссы и складываем показатели степеней: $(8 \cdot 10^{-12}) \cdot (4 \cdot 10^{-12}) = (8 \cdot 4) \cdot 10^{-12+(-12)} = 32 \cdot 10^{-24}$.
Приводим результат к стандартному виду ($32 = 3.2 \cdot 10^1$): $32 \cdot 10^{-24} = (3.2 \cdot 10^1) \cdot 10^{-24} = 3.2 \cdot 10^{1-24} = 3.2 \cdot 10^{-23}$.

Частное:
Делим мантиссы и вычитаем показатели степеней: $\frac{8 \cdot 10^{-12}}{4 \cdot 10^{-12}} = \frac{8}{4} \cdot 10^{-12-(-12)} = 2 \cdot 10^{-12+12} = 2 \cdot 10^0 = 2$.

Ответ: сумма: $1.2 \cdot 10^{-11}$; разность: $4 \cdot 10^{-12}$; произведение: $3.2 \cdot 10^{-23}$; частное: $2$.