Номер 2.29, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.29. Решите уравнение:

a) $\frac{1}{6}(x^2 - x) = \frac{1}{5}(x^2 + 3x);$

б) $\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = 3\frac{1}{3};$

В) $\frac{(x+1)^2}{4} - \frac{6x-3}{4} = (x-1)^2;$

Г) $\frac{(x-4)^2}{8} = \frac{(x-2)^2}{4} + 1.$

а) Решим уравнение $\frac{1}{6}(x^2 - x) = \frac{1}{5}(x^2 + 3x)$.

Для начала избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30.

$30 \cdot \frac{1}{6}(x^2 - x) = 30 \cdot \frac{1}{5}(x^2 + 3x)$

$5(x^2 - x) = 6(x^2 + 3x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x^2 - 5x = 6x^2 + 18x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 - 5x^2 + 18x + 5x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 23x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 23) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x + 23 = 0 \implies x_2 = -23$

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = -23$.

б) Решим уравнение $\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = 3\frac{1}{3}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{5x^2 + 9}{6} - \frac{4x^2 - 9}{5} = \frac{10}{3}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6, 5 и 3. Это число 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \frac{5x^2 + 9}{6} - 30 \cdot \frac{4x^2 - 9}{5} = 30 \cdot \frac{10}{3}$

$5(5x^2 + 9) - 6(4x^2 - 9) = 10 \cdot 10$

Раскроем скобки:

$25x^2 + 45 - 24x^2 + 54 = 100$

Приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - 24x^2) + (45 + 54) = 100$

$x^2 + 99 = 100$

Перенесем 99 в правую часть:

$x^2 = 100 - 99$

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x_1 = 1$; $x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -1$.

в) Решим уравнение $\frac{(x+1)^2}{4} - \frac{6x-3}{4} = (x-1)^2$.

В левой части уравнения дроби имеют общий знаменатель, поэтому можем их объединить:

$\frac{(x+1)^2 - (6x-3)}{4} = (x-1)^2$

Раскроем скобки в числителе левой части и в правой части, используя формулы сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$\frac{(x^2 + 2x + 1) - 6x + 3}{4} = x^2 - 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 - 4x + 4}{4} = x^2 - 2x + 1$

Заметим, что выражение в числителе также является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

$\frac{(x-2)^2}{4} = (x-1)^2$

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x-2)^2 = 4(x-1)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 8x + 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$4x^2 - x^2 - 8x + 4x + 4 - 4 = 0$

$3x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 4) = 0$

Получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = \textbf{1}\frac{1}{3}$.

г) Решим уравнение $\frac{(x-4)^2}{8} = \frac{(x-2)^2}{4} + 1$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на их наименьшее общее кратное, равное 8.

$8 \cdot \frac{(x-4)^2}{8} = 8 \cdot \frac{(x-2)^2}{4} + 8 \cdot 1$

$(x-4)^2 = 2(x-2)^2 + 8$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$x^2 - 8x + 16 = 2(x^2 - 4x + 4) + 8$

$x^2 - 8x + 16 = 2x^2 - 8x + 8 + 8$

$x^2 - 8x + 16 = 2x^2 - 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - x^2 - 8x + 8x + 16 - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 = 0$

Отсюда следует, что уравнение имеет один корень:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.