Номер 2.27, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.27. Решите уравнение:

a) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 5;$

б) $(2x + 5)^2 - (4x - 1)^2 = 24.$

Для решения этого уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x-1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Подставим раскрытые скобки обратно в исходное уравнение:

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

Перенесем 5 из правой части в левую с противоположным знаком:

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$
2. $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Ответ: -1; 0.

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу, где $a = 2x+5$ и $b = 4x-1$:

Упростим выражения в каждой из скобок, раскрывая внутренние скобки:

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

Приведем подобные слагаемые:

Перенесем 24 в левую часть уравнения:

Вынесем общий множитель $-4x$ за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

1. $-4x = 0 \implies x_1 = 0$
2. $3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x_2 = \frac{7}{3}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{3}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

Ответ: $0; 2\frac{1}{3}$.