Номер 2.20, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.20. Найдите значение числа a, при котором:

а) корни уравнения $x^2 + (a - 7)x + a - 9 = 0$ являются противоположными числами;

б) один из корней уравнения $x^2 + (a - 7)x + a - 9 = 0$ равен нулю.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 7)x + a - 9 = 0$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении коэффициенты $p$ и $q$ равны:

• $p = a - 7$
• $q = a - 9$

Следовательно, для корней нашего уравнения $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства:

• $x_1 + x_2 = -(a - 7) = 7 - a$
• $x_1 \cdot x_2 = a - 9$

а) корни уравнения $x^2 + (a - 7)x + a - 9 = 0$ являются противоположными числами;

Если корни $x_1$ и $x_2$ являются противоположными числами, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Используя соотношение для суммы корней из теоремы Виета, получаем уравнение:

$7 - a = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 7$

Необходимо также убедиться, что при данном значении $a$ уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим знак дискриминанта $D = p^2 - 4q = (a-7)^2 - 4(a-9)$.

Подставим $a=7$:

$D = (7-7)^2 - 4(7-9) = 0^2 - 4(-2) = 8$

Поскольку $D = 8 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что удовлетворяет условию. Ответ: 7.

б) один из корней уравнения $x^2 + (a - 7)x + a - 9 = 0$ равен нулю.

Если один из корней равен нулю (например, $x_1 = 0$), то произведение корней также равно нулю: $x_1 \cdot x_2 = 0$.

Используя соотношение для произведения корней из теоремы Виета, получаем уравнение:

$a - 9 = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 9$

Другой способ — подставить корень $x=0$ непосредственно в исходное уравнение:

$0^2 + (a-7) \cdot 0 + a - 9 = 0$

$0 + 0 + a - 9 = 0$

$a = 9$

Проверим дискриминант при $a=9$:

$D = (9-7)^2 - 4(9-9) = 2^2 - 4(0) = 4$

Поскольку $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, один из которых равен нулю. Условие выполнено. Ответ: 9.