Номер 2.14, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.14. Выполните необходимые тождественные преобразования и решите уравнение:

а) $x(5x + 3) = x^2 - 4x;$

б) $(x + 7)(x - 2) = 5x;$

в) $(x + 4)(x + 5) = 20;$

г) $x^2 - 3 = (2x - 3)(x + 1);$

д) $(x - 4)^2 = 17 - 8x;$

е) $(x - 1)(x + 1) = 2x^2 + 5.$

а) Исходное уравнение: $x(5x + 3) = x^2 - 4x$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x^2 + 3x = x^2 - 4x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - x^2 + 3x + 4x = 0$

$4x^2 + 7x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $x_1 = 0$

2) $4x + 7 = 0 \implies 4x = -7 \implies x_2 = -\frac{7}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$x_2 = -1\frac{3}{4}$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -1\frac{3}{4}$.

б) Исходное уравнение: $(x + 7)(x - 2) = 5x$.

Раскроем скобки в левой части, перемножив многочлены:

$x^2 - 2x + 7x - 14 = 5x$

$x^2 + 5x - 14 = 5x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x - 5x - 14 = 0$

$x^2 - 14 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 14$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{14}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{14}$, $x_2 = -\sqrt{14}$.

в) Исходное уравнение: $(x + 4)(x + 5) = 20$.

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 + 5x + 4x + 20 = 20$

$x^2 + 9x + 20 = 20$

Перенесем свободный член из правой части в левую:

$x^2 + 9x + 20 - 20 = 0$

$x^2 + 9x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 9) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $x + 9 = 0 \implies x_2 = -9$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -9$.

г) Исходное уравнение: $x^2 - 3 = (2x - 3)(x + 1)$.

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 3 = 2x^2 + 2x - 3x - 3$

$x^2 - 3 = 2x^2 - x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону (например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным):

$0 = 2x^2 - x^2 - x - 3 + 3$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Найдем корни уравнения:

1) $x_1 = 0$

2) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

д) Исходное уравнение: $(x - 4)^2 = 17 - 8x$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 17 - 8x$

$x^2 - 8x + 16 = 17 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x + 8x + 16 - 17 = 0$

$x^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm 1$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

е) Исходное уравнение: $(x - 1)(x + 1) = 2x^2 + 5$.

В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 - 1^2 = 2x^2 + 5$

$x^2 - 1 = 2x^2 + 5$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 2x^2 - x^2 + 5 + 1$

$0 = x^2 + 6$

Или $x^2 = -6$.

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.