Номер 2.15, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.15. Решите уравнение:

a) $(x + 3)^2 + (x - 4)^2 = 25;$

б) $(5x - 3)^2 - (3x - 1)^2 = 8.$

а) Дано уравнение: $(x + 3)^2 + (x - 4)^2 = 25$.

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) = 25$

$(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 8x + 16) = 25$

Далее приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x^2 + x^2 + 6x - 8x + 9 + 16 = 25$

$2x^2 - 2x + 25 = 25$

Перенесем число 25 из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x^2 - 2x + 25 - 25 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

б) Дано уравнение: $(5x - 3)^2 - (3x - 1)^2 = 8$.

Для решения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$((5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2) - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 8$

$(25x^2 - 30x + 9) - (9x^2 - 6x + 1) = 8$

Раскроем вторую скобку, меняя знаки слагаемых на противоположные:

$25x^2 - 30x + 9 - 9x^2 + 6x - 1 = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - 9x^2) + (-30x + 6x) + (9 - 1) = 8$

$16x^2 - 24x + 8 = 8$

Перенесем число 8 из правой части в левую:

$16x^2 - 24x + 8 - 8 = 0$

$16x^2 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $8x$ за скобки:

$8x(2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Находим корни:

1) $8x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{3}{2}$ в смешанное число $1\frac{1}{2}$. Целая часть равна 1.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.