Номер 2.19, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.19. Решите уравнение:

а) $(x^2 + 3)^2 - (x^2 + 2)(x^2 - 8) = 73;$

б) $(x^2 + 4)^2 - (x^2 - 5)(x^2 + 2) = 11.$

а) $(x^2 + 3)^2 - (x^2 + 2)(x^2 - 8) = 73$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$(y + 3)^2 - (y + 2)(y - 8) = 73$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для второго слагаемого перемножим многочлены:

$(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - (y^2 - 8y + 2y - 16) = 73$

$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 - 6y - 16) = 73$

Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:

$y^2 + 6y + 9 - y^2 + 6y + 16 = 73$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (6y + 6y) + (9 + 16) = 73$

$12y + 25 = 73$

Решим полученное линейное уравнение относительно $y$:

$12y = 73 - 25$

$12y = 48$

$y = \frac{48}{12}$

$y = 4$

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $y = x^2$:

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни уравнения:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2, x_2 = -2$

Ответ: $\pm 2$.

б) $(x^2 + 4)^2 - (x^2 - 5)(x^2 + 2) = 11$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$:

$(y + 4)^2 - (y - 5)(y + 2) = 11$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов:

$(y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - (y^2 + 2y - 5y - 10) = 11$

$(y^2 + 8y + 16) - (y^2 - 3y - 10) = 11$

Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 8y + 16 - y^2 + 3y + 10 = 11$

$(y^2 - y^2) + (8y + 3y) + (16 + 10) = 11$

$11y + 26 = 11$

Решим линейное уравнение относительно $y$:

$11y = 11 - 26$

$11y = -15$

$y = -\frac{15}{11}$

Поскольку $y = -\frac{15}{11}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $y = -1\frac{4}{11}$.

Произведем обратную замену $y = x^2$:

$x^2 = -1\frac{4}{11}$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Поскольку мы получили, что $x^2$ должен быть равен отрицательному числу ($-1\frac{4}{11} < 0$), данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.