Номер 2.18, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.18. Найдите корни уравнения:

a) $(4x + 7)^2 - 40x = 3x(5x + 9) + 49;$

б) $(5 + 3x)(3x - 5) + 16x = (x - 5)(5 + x).$

а) $(4x + 7)^2 - 40x = 3x(5x + 9) + 49$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой части — распределительный закон умножения.

$(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 7 + 7^2 - 40x = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 9 + 49$

$16x^2 + 56x + 49 - 40x = 15x^2 + 27x + 49$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$16x^2 + (56x - 40x) + 49 = 15x^2 + 27x + 49$

$16x^2 + 16x + 49 = 15x^2 + 27x + 49$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (в левую), чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$16x^2 - 15x^2 + 16x - 27x + 49 - 49 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 11x = 0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 11) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x - 11 = 0 \Rightarrow x_2 = 11$

Ответ: 0; 11.

б) $(5 + 3x)(3x - 5) + 16x = (x - 5)(5 + x)$

Для решения этого уравнения заметим, что в обеих его частях можно применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

В левой части $(5 + 3x)(3x - 5)$ можно представить как $(3x + 5)(3x - 5)$. В правой части $(x - 5)(5 + x)$ можно представить как $(x - 5)(x + 5)$.

Применяем формулу:

$(3x)^2 - 5^2 + 16x = x^2 - 5^2$

$9x^2 - 25 + 16x = x^2 - 25$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$9x^2 - x^2 + 16x - 25 + 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Обратите внимание, что $-25$ и $+25$ взаимно уничтожаются.

$8x^2 + 16x = 0$

Вынесем общий множитель $8x$ за скобки:

$8x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня:

$8x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

Ответ: -2; 0.