Номер 2.42, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.42. Приведите по два примера квадратных уравнений:

а) не имеющих корней;

б) имеющих только один корень;

в) имеющих два корня.

Количество действительных корней квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ определяется знаком его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

• Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет ровно один действительный корень.
• Если дискриминант положительный ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня.

а) не имеющих корней:
Чтобы составить квадратное уравнение, не имеющее корней, нужно подобрать такие коэффициенты $a$, $b$ и $c$, для которых дискриминант $D = b^2 - 4ac$ будет отрицательным.
Пример 1: Уравнение $x^2 + 1 = 0$.
Здесь $a=1, b=0, c=1$.
Дискриминант: $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Пример 2: Уравнение $x^2 - 2x + 5 = 0$.
Здесь $a=1, b=-2, c=5$.
Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 1 = 0$ и $x^2 - 2x + 5 = 0$.

б) имеющих только один корень:
Чтобы составить квадратное уравнение, имеющее один корень, нужно подобрать такие коэффициенты $a$, $b$ и $c$, для которых дискриминант $D = b^2 - 4ac$ будет равен нулю. Такие уравнения являются полными квадратами.
Пример 1: Уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$.
Его можно записать в виде $(x - 2)^2 = 0$, откуда видно, что корень один: $x=2$.
Проверим дискриминант: $a=1, b=-4, c=4$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Пример 2: Уравнение $9x^2 + 6x + 1 = 0$.
Его можно записать в виде $(3x + 1)^2 = 0$, откуда $3x+1=0$ и корень $x = -1/3$.
Проверим дискриминант: $a=9, b=6, c=1$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Ответ: $x^2 - 4x + 4 = 0$ и $9x^2 + 6x + 1 = 0$.

в) имеющих два корня:
Чтобы составить квадратное уравнение, имеющее два различных корня, нужно подобрать такие коэффициенты $a$, $b$ и $c$, для которых дискриминант $D = b^2 - 4ac$ будет положительным.
Пример 1: Уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Подберем коэффициенты $a=1, b=-5, c=6$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня (это $x=2$ и $x=3$).
Пример 2: Уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$.
Подберем коэффициенты $a=1, b=3, c=-4$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня (это $x=1$ и $x=-4$).
Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$ и $x^2 + 3x - 4 = 0$.