Номер 2.63, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.63. Найдите все значения $b$, при которых уравнение имеет единственный корень:

а) $bx^2 - 3bx + 1 = 0;$

б) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0.$

Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо рассмотреть два случая для каждого уравнения с параметром:

1. Случай, когда уравнение становится линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Полученное линейное уравнение должно иметь один корень.
2. Случай, когда уравнение является квадратным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант ($D$) равен нулю.

Случай 1: Уравнение линейное.
Это происходит при $b=0$. Подставим это значение в уравнение: $0 \cdot x^2 - 3 \cdot 0 \cdot x + 1 = 0$ $1 = 0$
Получено неверное равенство, что означает, что при $b=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Уравнение квадратное.
Это условие выполняется при $b \neq 0$. Уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант $D = 0$. $D = (-3b)^2 - 4 \cdot b \cdot 1 = 9b^2 - 4b$
Приравниваем дискриминант к нулю: $9b^2 - 4b = 0$
$b(9b - 4) = 0$
Отсюда получаем $b=0$ или $b=\frac{4}{9}$. Так как мы рассматриваем случай, когда $b \neq 0$, значение $b=0$ не является решением в этом случае. Подходит только $b = \frac{4}{9}$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень только при $b = \frac{4}{9}$.
Ответ: $b = \frac{4}{9}$.

Случай 1: Уравнение линейное.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $b+5=0$, то есть $b=-5$. Подставим $b=-5$ в исходное уравнение: $(-5+5)x^2 - (-5+6)x + 3 = 0$
$0 \cdot x^2 - 1 \cdot x + 3 = 0$
$-x + 3 = 0$
$x = 3$
Уравнение имеет единственный корень, следовательно, $b=-5$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное.
Это условие выполняется при $b+5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$. Уравнение имеет единственный корень при $D=0$. $D = (-(b+6))^2 - 4 \cdot (b+5) \cdot 3$
$D = (b+6)^2 - 12(b+5)$
$D = (b^2 + 12b + 36) - (12b + 60) = b^2 + 12b + 36 - 12b - 60 = b^2 - 24$
Приравниваем дискриминант к нулю: $b^2 - 24 = 0$
$b^2 = 24$
$b = \pm\sqrt{24} = \pm\sqrt{4 \cdot 6} = \pm2\sqrt{6}$.
Оба значения, $b = 2\sqrt{6}$ и $b = -2\sqrt{6}$, не равны $-5$, следовательно, оба являются решениями.

Объединяя все найденные значения $b$ из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $b = -5; b = 2\sqrt{6}; b = -2\sqrt{6}$.