Номер 2.66, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.66. Среди квадратных уравнений $x^2 + 6x + 9 = 0$; $2x^2 + 7x - 4 = 0$; $16x^2 - 8x + 1 = 0$; $6x^2 - 5x + 7 = 0$ выберите:

a) уравнения, имеющие два корня;

б) уравнения, у которых левая часть является квадратом двучлена.

Для того чтобы выбрать уравнения, удовлетворяющие заданным условиям, необходимо проанализировать каждое из них. Ключевым инструментом для анализа квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ является дискриминант, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня), а его левая часть является полным квадратом двучлена.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен ($D > 0$). Вычислим дискриминант для каждого уравнения:

1. $x^2 + 6x + 9 = 0$
   $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. (Один корень)
2. $2x^2 + 7x - 4 = 0$
   $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$. Так как $D > 0$, это уравнение имеет два корня.
3. $16x^2 - 8x + 1 = 0$
   $D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$. (Один корень)
4. $6x^2 - 5x + 7 = 0$
   $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 25 - 168 = -143$. Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, только одно уравнение из списка имеет два корня.

Ответ: $2x^2 + 7x - 4 = 0$.

Левая часть уравнения является квадратом двучлена, если дискриминант равен нулю ($D = 0$). Обращаясь к вычислениям из предыдущего пункта, мы видим, что этому условию удовлетворяют два уравнения:

• $x^2 + 6x + 9 = 0$, так как $D=0$. Действительно, $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
• $16x^2 - 8x + 1 = 0$, так как $D=0$. Действительно, $16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x-1)^2$.

Ответ: $x^2 + 6x + 9 = 0$ и $16x^2 - 8x + 1 = 0$.