Номер 2.71, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.71. Решите уравнение:

а) $x(x + 7) = 18;$

б) $x(2x - 9) = 5;$

в) $x(6x - 13) = 5;$

г) $4x(x - 1) = 3.$

а) $x(x + 7) = 18$
Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 7x = 18$
$x^2 + 7x - 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1, b = 7, c = -18$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: $-9; 2$.

б) $x(2x - 9) = 5$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 9x = 5$
$2x^2 - 9x - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 2, b = -9, c = -5$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}; 5$.

в) $x(6x - 13) = 5$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 13x = 5$
$6x^2 - 13x - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 6, b = -13, c = -5$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{2}$ в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}; \mathbf{2}\frac{1}{2}$.

г) $4x(x - 1) = 3$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 - 4x = 3$
$4x^2 - 4x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 4, b = -4, c = -3$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{3}{2}$ в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; \mathbf{1}\frac{1}{2}$.