Номер 2.76, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.76. Найдите значения переменной, при которых значение квадрата двучлена $2x - 3$ равно значению выражения $3x - 2$.

Чтобы найти значения переменной, при которых значение квадрата двучлена $2x - 3$ равно значению выражения $3x - 2$, необходимо составить и решить уравнение.

1. Составим уравнение, приравняв квадрат двучлена к выражению:

$(2x - 3)^2 = 3x - 2$

2. Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 3x - 2$

$4x^2 - 12x + 9 = 3x - 2$

3. Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 12x - 3x + 9 + 2 = 0$

$4x^2 - 15x + 11 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$a = 4, b = -15, c = 11$

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 225 - 176 = 49$

5. Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 7}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}$

$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$

6. Преобразуем неправильную дробь $\frac{11}{4}$ в смешанное число:

$\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$

Таким образом, мы получили два значения переменной, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: значения переменной равны $1$ и $\mathbf{2}\frac{3}{4}$.