Номер 2.81, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.81. Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(a - 3)x^2 - (a - 1)x + 2 = 0$ имеет единственный корень.

Данное уравнение $(a - 3)x^2 - (a - 1)x + 2 = 0$ будет иметь единственный корень в двух случаях: когда оно является линейным (имеет ровно один корень) или когда оно является квадратным с дискриминантом, равным нулю (имеет один корень кратности 2).

1. Случай, когда уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:$$a - 3 = 0$$$$a = 3$$Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить количество корней:$$(3 - 3)x^2 - (3 - 1)x + 2 = 0$$$$0 \cdot x^2 - 2x + 2 = 0$$$$-2x + 2 = 0$$$$-2x = -2$$$$x = 1$$При $a=3$ уравнение является линейным и имеет один корень. Следовательно, это значение параметра удовлетворяет условию задачи.
Ответ: $a=3$.

2. Случай, когда уравнение является квадратным и имеет один корень.
Это происходит при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a - 3 \neq 0$) и дискриминант $D$ равен нулю.
Найдем дискриминант уравнения. Коэффициенты: $A = a - 3$, $B = -(a - 1)$, $C = 2$.$$D = B^2 - 4AC = (-(a-1))^2 - 4(a-3)(2)$$$$D = (a-1)^2 - 8(a-3)$$Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$:$$(a-1)^2 - 8(a-3) = 0$$$$a^2 - 2a + 1 - 8a + 24 = 0$$$$a^2 - 10a + 25 = 0$$Это уравнение представляет собой полный квадрат:$$(a - 5)^2 = 0$$Отсюда получаем:$$a - 5 = 0$$$$a = 5$$Проверяем условие $a \neq 3$. Так как $5 \neq 3$, это значение параметра нам подходит.
Ответ: $a=5$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, приходим к выводу, что исходное уравнение имеет единственный корень при $a=3$ и $a=5$.