Номер 2.85, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.85. Решите систему неравенств $\begin{cases} 2 - 3x < 2x + 9, \\ 4x + 5,2 \le 0. \end{cases}$

Для того чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение (общую часть) их решений.

1. Решение неравенства $2 - 3x < 2x + 9$

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$-3x - 2x < 9 - 2$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-5x < 7$

Теперь разделим обе части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства необходимо поменять на противоположный ($<$ на $>$).

$x > -\frac{7}{5}$

Преобразуем неправильную дробь $-\frac{7}{5}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$-\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5}$

2. Решение неравенства $4x + 5,2 \le 0$

Перенесем свободный член $5,2$ в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$4x \le -5,2$

Разделим обе части на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x \le -\frac{5,2}{4}$

$x \le -1,3$

Представим десятичную дробь $-1,3$ в виде смешанного числа, чтобы выделить целую часть:

$-1,3 = -1\frac{3}{10}$

3. Нахождение решения системы

Теперь необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Мы получили два условия:

$\begin{cases} x > -1\frac{2}{5} \\ x \le -1\frac{3}{10} \end{cases}$

Для удобства сравнения можно перевести смешанные числа в десятичные дроби: $-1\frac{2}{5} = -1,4$ и $-1\frac{3}{10} = -1,3$.

Система принимает вид:

$\begin{cases} x > -1,4 \\ x \le -1,3 \end{cases}$

Решением является пересечение этих двух множеств, то есть все числа, которые строго больше $-1,4$ и при этом меньше или равны $-1,3$.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1,4 < x \le -1,3$

Или, используя смешанные числа, в виде числового промежутка: