Номер 2.75, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.75. Решите уравнение:

a) $1.2x^2 - 0.8x - 0.4 = 0;$

б) $x^2 - \frac{7}{9}x = \frac{2}{9}.$

а) Дано квадратное уравнение: $1,2x^2 - 0,8x - 0,4 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 10:
$10 \cdot (1,2x^2 - 0,8x - 0,4) = 10 \cdot 0$
$12x^2 - 8x - 4 = 0$

Для дальнейшего упрощения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:
$\frac{12x^2}{4} - \frac{8x}{4} - \frac{4}{4} = \frac{0}{4}$
$3x^2 - 2x - 1 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-2$, $c=-1$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

б) Дано уравнение: $x^2 - \frac{7}{9}x = \frac{2}{9}$.
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:
$x^2 - \frac{7}{9}x - \frac{2}{9} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим все члены уравнения на 9:
$9 \cdot (x^2 - \frac{7}{9}x - \frac{2}{9}) = 9 \cdot 0$
$9x^2 - 7x - 2 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение с целыми коэффициентами: $a=9$, $b=-7$, $c=-2$. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$